[論文レビュー] On the Design of Locking Free Ghost Penalty Stabilization and the Relation to CutFEM with Discrete Extension

Erik Burman, Peter Hansbo+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2022

Numerical methods for differential equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、カット有限要素法における新たなゴーストペナルティ安定化を提案する。従来の手法を一般化し、任意の関数型（個々の自由度を含む）の安定化を可能とするとともに、面の隣接要素に限らない要素間接続を可能にする。主な貢献は、ノード安定化がロバスト性条件を満たすことを証明し、安定化パラメータを無限大に近づけてもロックが生じないことを示したことである。これにより、カットFEMにおける離散拡張作用素と直接的な同等性が確立される。

ABSTRACT

In this note, we develop a new stabilization mechanism for cut finite element methods that generalizes previous approaches of ghost penalty type in two ways: (1) The quantity that is stabilized and (2) The choice of elements that are connected in the stabilization. In particular, we can stabilize functionals of the discrete function such as finite element degrees of freedom. We subsequently show that the kernel of our ghost penalty operator defines a finite element space based on discrete extensions in the spirit of those introduced in Burman, E.; Hansbo, P. and Larson, M. G., CutFEM Based on Extended Finite Element Spaces, arXiv2101.10052, 2021.

研究の動機と目的

• カット有限要素法における標準的な要素ベースの安定化を超えた、一般化されたゴーストペナルティ安定化フレームワークの開発を目的とする。
• 離散解の任意の関数型（個々の自由度を含む）の安定化を可能とし、不安定モードに対するより精確な制御を実現することを目的とする。
• 一般化された安定化が、安定化パラメータを無限大に近づけてもロックを回避することを示し、ロバスト性を確保することを目的とする。
• カットFEMにおけるゴーストペナルティ安定化と離散拡張作用素の間の直接的な理論的・アルゴリズム的関係を確立することを目的とする。
• 2次楕円問題に対して最適順序収束性および条件数の見積もりを支持する統一的フレームワークの提供を目的とする。

提案手法

• 離散関数の関数型（ノード自由度を含む）を安定化量とする一般化されたゴーストペナルティ形式を提案する。
• メッシュサイズに比例する距離内に位置する要素を介して境界に交差する要素を安定化できる柔軟な結合戦略を導入する。
• 自由度そのものに作用する安定化形式を定義し、安定化パラメータが無限大に近づく極限で制約を強く強制できることを可能にする。
• 離散拡張作用素フレームワークを用いてゴーストペナルティを拡張に基づく安定化と関連付け、安定化パラメータが大きい極限で同等性を示す。
• 逆不等式および標準的拡張に関する安定性見積もりを用いて、安定化形式のバインドを導出する。
• ペナルティ項の局在化および強度に関する十分な条件下で、離散双線形形式の強制性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゴーストペナルティ安定化は、要素ベースの量に限らず、離散解の任意の関数型（個々の自由度を含む）を安定化できるように一般化可能か？
• RQ2 安定化パラメータを無限大に近づけても、一般化されたゴーストペナルティ定式化はロバストかつロックフリーのままであるか？
• RQ3 提案されたノード安定化は、カットFEMにおける離散拡張作用素フレームワークとどのように関係しているか？
• RQ4 要素間の結合に関するどのような条件が、カット有限要素法における安定性および最適収束性を保証するか？
• RQ5 一般化されたゴーストペナルティ形式が、安定性および最適誤差見積もりの抽象的枠組みを満たすことが示せるか？

主な発見

• 提案されたノード安定化は、安定化パラメータが無限大に近づく極限でさえも、ロバスト性および最適収束性に必要な条件を満たす。
• ゴーストペナルティ作用素の核は、離散拡張によって定義される有限要素空間に正確に一致し、安定化手法と拡張手法との間の直接的な同等性を確立する。
• 一般化されたゴーストペナルティ形式により、2次楕円問題に対して最適順序の事前誤差見積もりおよび条件数の上限が保証される。
• 必要な強制性および一貫性条件を満たすことにより、安定化パラメータが無限大に近づく極限でも、ロックを回避し、安定性と最適収束性を達成する。
• 理論的枠組みは、同伴の研究との比較により、高次楕円問題へ自然に拡張可能であることが確認された。
• 解析により、結合の局在化が十分でかつペナルティパラメータが適切に選ばれた場合、安定化形式が強制性を満たすことが確認された。