[論文レビュー] On the Determinants and Inverses of Circulant Matrices with a General Number Sequence

Durmuş Bozkurt|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2012

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、整数初期条件を伴う一般化線形再帰列 $ W_n = pW_{n-1} + qW_{n-2} $ によって生成される巡回行列の行列式および逆行列の明示的公式を導出する。行列分解技術および列のビネット公式の性質を用いて、著者らは行列式および逆行列の成分を列の要素および再帰パラメータの関数として表現し、任意の $ n $ に対して閉形式の解を得る。主な貢献は、一般化数列上の巡回行列に対して体系的な代数的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

The generalized sequence of numbers is defined by W_{n}=pW_{n-1}+qW_{n-2} with initial conditions W_{0}=a and W_{1}=b for a,b,p,q\inZ and n\geq2, respectively. Let W_{n}=circ(W_{1},W_{2},...,W_{n}). The aim of this paper is to establish some useful formulas for the determinants and inverses of W_{n} using the nice properties of the number sequences. Matrix decompositions are derived for W_{n} in order to obtain the results.

研究の動機と目的

• 巡回行列の成分が一般化線形再帰列 $ W_n = pW_{n-1} + qW_{n-2} $ に従う場合の行列式の明示的公式を導出すること。
• 行列分解および列の性質を用いて、このような巡回行列の逆行列を計算する手法を開発すること。
• フィボナッチおよびラウスの巡回行列に関する先行研究を、2階線形再帰で定義される任意の整数列へ一般化すること。
• 大規模な $ n $ に対して固有値計算を回避する、計算上で扱いやすい行列式および逆行列の表現を提供すること。

提案手法

• 再帰式 $ x^2 - px + q = 0 $ の根 $ \alpha, \beta $ を用いた一般化列 $ W_n = \frac{A\alpha^n + B\beta^n}{\alpha - \beta} $ のビネット公式を利用する。
• 巡回行列 $ \mathbb{W}_n $ を $ K\mathbb{W}_nL $ の形でヘッセンベルク型行列に変換するための2つの補助行列 $ K $ および $ L $ を構成する。
• 直接和分解 $ K\mathbb{W}_nLU = H \oplus A $ を用い、ここで $ H $ は $ 2 \times 2 $ ブロックで、$ A $ は下部ヘッセンベルク行列である。
• 逆行列を $ \mathbb{W}_n^{-1} = T(H^{-1} \oplus A^{-1})K $ の形で導出し、$ T = LU $ とおくことで、逆行列成分を列の項で表現可能にする。
• 行列式を $ b-W_{n+1} $、$ W_{k+1} - \frac{W_2 W_k}{W_1} $、および $ \frac{q(W_n - W_0)}{W_1 - W_{n+1}} $ の累乗を含む項の組み合わせとして表現する。
• 巡回行列の逆行列が自身も巡回行列であるという事実を用い、最後の行からすべての成分を回復可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化線形再帰列から生成される巡回行列の行列式を、閉形式でどのように表現できるか？
• RQ2 このような巡回行列の逆行列の代数的構造は何か？また、固有値分解を用いずに計算可能か？
• RQ3 行列分解技術を用いることで、数列上の巡回行列における大規模 $ n $ に対する行列式および逆行列の計算が簡略化可能か？
• RQ4 再帰のパラメータ $ p, q, a, b $ が行列式および逆行列成分にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $ \mathbb{W}_n $ の行列式は、$ (b - W_{n+1})^{k-2} $、$ (qW_n - qa)^{n-k} $、および $ bW_{k+1} - W_2 W_k $ のような項を含む複雑な和で与えられ、$ n \geq 3 $ の範囲で有効である。
• $ \mathbb{W}_n^{-1} $ の逆行列成分 $ w_k $ は、$ W_1, W_2, W_k $ および $ W_{n+1} - W_1 $ の有理関数で明示的に表現され、係数には $ \frac{q(W_n - W_0)}{W_1 - W_{n+1}} $ の累乗が含まれる。
• 逆行列が巡回行列であることが示され、既知の巡回行列の性質と整合的であることが確認された。
• 逆行列の最初の成分 $ w_1 $ の式には、$ k $ に関する和が含まれており、$ q^k $、$ W_{n-k} - \frac{W_2 W_{n-k-1}}{W_1} $、および列パラメータの有理関数が含まれる。
• $ g_n $、重要な中間的な行列式に類する量の式は、$ W_1 - \frac{W_2 W_n}{W_1} $ と、各項が $ \frac{q(W_n - W_0)}{W_1 - W_{n+1}} $ の累乗でスケーリングされた $ k $ に関する和の組み合わせで表される。
• 本手法は、フィボナッチおよびラウスの巡回行列に関する既知の結果を、2階線形再帰で定義される任意の整数列へ成功裏に一般化した。