[論文レビュー] On the determining wavenumber for the nonautonomous subcritical SQG equation

Alexey Cheskidov, Mimi Dai|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$L^∞$-有界な吸収集合に含まれる解を仮定することで、下位の時間に依存しない決定的波数を、従来の時間に依存する推定を改善する形で導入する。解が吸収集合内で$ L^∞ $に有界であることを利用し、決定的モード数のより鋭い推定を導出し、低周波数モードが一致し、外力が適切なBesovノルムで小さい場合に、解の差が指数関数的に減少することを証明する。

ABSTRACT

A time-dependent determining wavenumber was introduced in [5] to estimate the number of determining modes for the surface quasi-geostrophic (SQG) equation. In this paper we continue this investigation focusing on the subcritical case and study trajectories inside an absorbing set bounded in $L^\infty$. Utilizing this bound we find a time-independent determining wavenumber that improves the estimate obtained in [5]. This classical approach is more direct, but it is contingent on the existence of the $L^\infty$ absorbing set.

研究の動機と目的

• 従来の時間に依存する波数法を超えて、下位のSQG方程式の決定的モードの推定を改善すること。
• 解が$L^\infty$-有界な吸収集合に含まれるという仮定の下で、時間に依存しない決定的波数$\varLambda$を確立すること。
• 古典的エネルギー推定を用いて、下位の状態$\alpha \in (1,2)$における決定的モード数の上界を精緻化すること。
• 低周波数モードが一致し、外力の差が小さい場合に、$B^0_{l,l}$ノルムで解が全局的に収束することを証明すること。

提案手法

• 下位のSQG方程式に対して、$L^\infty$-有界な吸収集合が存在することを用いる。その有界値は$R_\infty \sim \lambda_0^{2/p - \alpha} F / \nu$である。
• 解の$R_\infty$、$\nu$、$\alpha$に基づき、時間に依存しない決定的波数$\varLambda = \lambda_0 2^Q$を定義し、$\varLambda \gtrsim \left( \frac{C l^2 R_\infty}{\nu} \right)^{1/(\alpha-1)}$を満たすようにする。
• 解の差を測るのにBesov空間ノルム$B^0_{l,l}$を用い、$l > \alpha/(\alpha-1)$とする。
• 差分方程式における非線形項を制御するために、二重分解とパラプロダクト推定を用いる。
• Grönwallの不等式と$B^0_{l,l}$におけるエネルギー推定を用いて、モードが一致する場合に解の差が指数関数的に減少することを示す。
• 高周波数および低周波数の相互作用を制御するために、Jensenの不等式とHölderの不等式を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解が$L^\infty$-有界であるという条件下で、下位のSQG方程式に対して時間に依存しない決定的波数を構成可能か？
• RQ2 解の$L^\infty$有界性が、時間に依存する波数と比較して、決定的モードの推定をどの程度改善するか？
• RQ3 決定的波数が外力の大きさ$F$、粘性係数$\nu$、正則性パrameter$\alpha$にどのように依存するかの鋭い依存関係は何か？
• RQ4 低周波数モードが一致するという条件下で、古代解の全体としての解の同一性が成立する条件は何か？
• RQ5 古典的エネルギー法は、下位の場合に一般の時間に依存する波数法よりも良い上界を導けるか？

主な発見

• 時間に依存しない決定的波数$\varLambda$が構成され、$\varLambda \gtrsim \left( \frac{C l^2 R_\infty}{\nu} \right)^{1/(\alpha-1)}$を満たす。これは従来の推定を改善する。
• 二つの解が$Q$未満のモードで一致し、外力の差が$B^{-\alpha(1-1/l)}_{l,l}$ノルムで小さい場合、$t \to \infty$において解の差は$B^0_{l,l}$ノルムで0に収束する。
• 低周波数モードが$Q$未満で一致する古代解については、すべての時刻で解が同一であることが示され、モードの一致による一意性が証明される。
• $R_\infty$の上界は$\lambda_0^{2/p - \alpha} F / \nu$に比例し、$L^\infty$-有界性と外力・粘性係数の関係を結ぶ。
• この手法は、$\alpha \in (1,2)$および$f \in L^\infty(L^p)$（$p > 2/\alpha$）の下で成り立つ$L^\infty$-有界な吸収集合の存在に依存する。
• 古典的エネルギー推定をBesov空間で用いることで、時間に依存する波数の追跡を避けることにより、決定的モード数の推定を改善する。