[論文レビュー] On the diameter of lattice polytopes

Alberto Del Pia, Carla Michini|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$[0,k]^d$ に含まれる $d$ 次元格子多面体の直径に対する改善された上界を確立し、それが $ olimits\left\lfloor\left(k - \frac{1}{2}\right)d\right\rfloor$ 以下であることを示している。証明は帰納法、頂点射影、および面の構造的解析を用い、$k=2$ の場合にタイトであることが示され、半整数多面体に対しては $ olimits\left\lfloor\frac{3}{2}d\right\rfloor$ の直径が得られる。

ABSTRACT

In this paper we show that the diameter of a d-dimensional lattice polytope in [0,k]^n is at most (k - 1/2) d. This result implies that the diameter of a d-dimensional half-integral polytope is at most 3/2 d. We also show that for half-integral polytopes the latter bound is tight for any d.

研究の動機と目的

• $[0,k]^d$ に含まれる $d$ 次元格子多面体の直径に対するより緊密な上界を確立すること。
• Kleinschmidt と Onn が得た既存の $kd$ の上界を、特に $k \geq 2$ の場合に改善すること。
• $\left\lfloor\left(k - \frac{1}{2}\right)d\right\rfloor$ が $k=2$ に対してすべての $d$ でタイトであることを示すこと。
• $(0,2)$-多面体とアフィン同値である半整数多面体へその結果を拡張すること。
• 最大直径 $\delta_k^d$ の漸近的挙動を調査し、既知の下界と上界の間のギャップを特定すること。

提案手法

• 次元 $d$ についての帰納法を用い、$d=1$ および $d=2$ を基本ケースとする。
• 頂点射影を適用して、$\mathbb{R}^d$ 内のフル次元多面体に $d$ 次元多面体を縮小し、1スケルトンを保存する。
• 面射影と線形関数への最小化を用いて、低次元多面体による距離の上界を導出する。
• Lemma 3 を用いて、面における $x_i + x_j$ の最小値を用いて、面を横切るパス長を上界づけする。
• Lemma 4 を用いて、$\delta_k^{d-2}$ と最小和 $\gamma$ を用いて、射影された面の直径を上界づけする。
• 変数変換 $\tilde{x}_i = k - x_i$ を用いた対称性を活用し、頂点の位置に関する場合分けを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $d$ 次元 $(0,k)$-多面体の直径は、$kd$ よりもタイトに上界づけ可能か？
• RQ2 $\left\lfloor\left(k - \frac{1}{2}\right)d\right\rfloor$ は $k=2$ に対してタイトか？
• RQ3 半整数多面体の最大直径は何か？ また、$(0,2)$-多面体とどのように関係するか？
• RQ4 $\delta_k^d$、つまり $d$ 次元 $(0,k)$-多面体の最大直径の漸近的成長は？
• RQ5 $k \geq 3$ の場合に、現在の上界をさらに改善可能か？ あるいは、この手法に根本的なギャップがあるか？

主な発見

• 任意の $d$ 次元 $(0,k)$-多面体の直径は、$\left\lfloor\left(k - \frac{1}{2}\right)d\right\rfloor$ 以下である。これは以前の $kd$ の上界を改善する。
• $k=2$ の場合、$\left\lfloor\frac{3}{2}d\right\rfloor$ の上界はすべての $d$ に対してタイトであり、直積を用いた明示的構成によって示された。
• $d$ が偶数のとき $H_d = (H_2)^{d/2}$、$d$ が奇数のとき $H_d = H_{d-1} \times H_1$ と定義される多面体は、直径 $\left\lfloor\frac{3}{2}d\right\rfloor$ を達成する。
• 頂点が $\{0, \frac{1}{2}, 1\}^d$ に属する半整数多面体は、直径が $\left\lfloor\frac{3}{2}d\right\rfloor$ 以下であり、$(0,2)$-多面体と同一の上界を持つ。
• $\delta_k^d$ の最良既知の下界は、$\Theta(k^{2/3})$ 個の頂点を持つ 2 次元 $(0,k)$-多面体から得られる $\Omega(k^{2/3}d)$ である。
• 渐近的ギャップが依然として存在する：最良の上界は $k$ と $d$ の両方に関して線形であるが、最良の既知の下界は $k^{2/3}$ スケーリングであるため、改善の余地がある。