[論文レビュー] On the dichotomy of a locally compact semitopological bicyclic monoid with adjoined zero

Олег Гутік|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

semigroups and automata theory参考文献 13被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、零元を付加したハウスドルフかつ局所コンパクトな半位相的バイシクリックモノイドが、コンパクトまたは離散的であることを確立しており、位相群におけるワイエルの定理に類似した二分法を拡張している。証明では商写像、コンパクトなイデアル、およびDin’N’e T’ongの定理を用い、非開コンパクトイデアルがコンパクト性を強制することを示しており、Čech完全な距離化可能な逆半群においてはその結果が成り立たない反例が提示されている。

ABSTRACT

We prove that a Hausdorff locally compact semitopological bicyclic semigroup with adjoined zero $\mathscr{C}^0$ is either compact or discrete. Also we show that the similar statement holds for a locally compact semitopological bicyclic semigroup with an adjoined compact ideal and construct an example which witnesses that a counterpart of the statements does not hold when $\mathscr{C}^0$ is a Čech-complete metrizable topological inverse semigroup.

研究の動機と目的

• 位相群におけるワイエルの定理に類似した、局所コンパクトな半位相的バイシクリックモノイドに零元を付加したものの位相的二分法を確立すること。
• 零元の代わりにコンパクトなイデアルを持つ半位相的半群において、コンパクトまたは離散的という二分法が拡張されるかを調査すること。
• Čech完全な距離化可能なトポロジカル逆半群のクラスにおいて、この二分法の限界を特定する反例を構成することで、その限界を特定すること。
• トポロジカル半群におけるバイシクリックモノイドの閉包およびイデアル構造に関する先行研究を一般化すること。
• 遺伝的商写像および商位相の役割が、局所コンパクト性と半位相的構造を保存する際に果たす役割を明確にすること。

提案手法

• コンパクトなイデアルを持つ半群を、Rees商構成を用いて、零元を付加したバイシクリックモノイドに還元する。
• Din’N’e T’ongの定理を適用し、元の半群が局所コンパクトで、イデアルがコンパクトであれば、商空間が局所コンパクトハウスドルフであることを導出する。
• 遺伝的商写像の性質を用いて、商位相が局所コンパクト性および分離公理を保存することを保証する。
• バイシクリックモノイドにおける孤立点の性質を活用し、イデアルの開近傍の補集合が、商空間において閉じてかつ離散的であることを示す。
• 補集合の商写像による有限像を用いて、イデアルが非開であれば、元の空間がコンパクトであることを結論づける。
• Čech完全な距離化可能なトポロジカル逆半群を用いた反例を構成し、この設定では二分法が成り立たないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトな半位相的バイシクリックモノイドに零元を付加した場合、どのような位相的条件下でコンパクトまたは離散的という二分法が成立するか？
• RQ2 零元がコンパクトなイデアルに置き換えられた半位相的半群においても、二分法が成立するか？
• RQ3 Čech完全な距離化可能なトポロジカル逆半群において、二分法を拡張できるか？
• RQ4 商写像および遺伝的商写像は、半位相的半群における局所コンパクト性の保存にどのような役割を果たすか？
• RQ5 バイシクリックモノイドの帰納的部分半群の構造は、局所コンパクトな半位相的半群における閉包およびイデアル構造とどのように関係するか？

主な発見

• ハウスドルフかつ局所コンパクトな半位相的バイシクリックモノイドに零元を付加したものは、コンパクトまたは離散的である。
• 同様の二分法は、コンパクトなイデアルを付加した局所コンパクトな半位相的バイシクリック半群に対しても成立する。
• コンパクトなイデアルに関するRees商への自然な商写像は、遺伝的商写像である。
• コンパクトなイデアルが非開であれば、商空間はコンパクトであり、これは元の空間がコンパクトであることを強制する。
• 証明は、Din’N’e T’ongの定理を用いて、商空間が局所コンパクトハウスドルフであると結論づける。
• 反例により、半群がČech完全な距離化可能なトポロジカル逆半群である場合には二分法が成り立たないことが示され、局所コンパクト性の仮定の必要性が裏付けられた。