[論文レビュー] On the differentiability of the solution to the Hamilton-Jacobi equation with critical fractional diffusion

Luís Silvestre|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2009

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアン $H$ が局所リプシッツ連続であり、凸でない場合でも、臨界的分数マッピリング $s=1/2$ を持つハミルトン・ジャコビ方程式の解について、古典的な $C^{1,\beta}$ 正則性を確立する。主な革新点は、発散自由でない有界なベクトル場を伴う移流拡散方程式に対して、非変分的 Hölder 評価を新たに導入したことである。この評価により、速度場 $w = DH(\nabla u)$ に発散自由条件がない場合でも、微分可能性の証明が可能となる。

ABSTRACT

We prove that the Hamilton Jacobi equation for an arbitrary Hamiltonian $H$ (locally Lipschitz but not necessarily convex) and fractional diffusion of order one (critical) has classical $C^{1,α}$ solutions. The proof is achieved using a new Hölder estimate for solutions of advection diffusion equations of order one with bounded vector fields that are not necessarily divergence free.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン $H$ が凸でない場合でも、臨界的分数拡散 $s=1/2$ を持つハミルトニアン・ジャコビ方程式の解について、古典的 $C^{1,\alpha}$ 正則性を確立すること。
• 非線形項と拡散項がすべてのスケールでバランスをとる臨界定常ケース $s=1/2$ における正則性問題を解決すること。
• 発散自由でない可能性のある有界なベクトル場を伴う移流拡散方程式に対して、従来の変分的手法を拡張する新しい Hölder 評価を開発すること。
• 線形化方程式の Hölder 正則性を変分的手法とは対照的に、非変分的証明により示すこと。

提案手法

• 発散自由条件を要しない有界なベクトル場を伴う一次の線形移流拡散方程式に対して、非変分的 Hölder 評価を新たに導入すること。
• 線形化方程式 $v_t + w \cdot \nabla v + (-\Delta)^{1/2}v = 0$（ここで $w = DH(\nabla u)$）を研究の中心的対象とする。
• 空間時空のシリンダ内での解の振幅の減少を制御する、重要な振幅減少補題（補題 5.1）を確立すること。
• 方向微分 $v = u_e$ の解 $u$ に Hölder 評価を適用し、$\nabla u$ が Hölder 継続的であることを証明すること。
• 粘性解理論を用いて線形化方程式の導出を正当化し、事前に古典的微分可能性がない場合の処理を行う。
• Perron の方法を用いて粘性解を構成し、バリア関数と比較原理を用いて $t=0$ での連続性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン・ジャコビ方程式の臨界定常分数拡散 $s=1/2$ を持つ解が、$H$ が凸でない場合でも $C^{1,\alpha}$ 正則性を示せるか。
• RQ2 発散自由でない有界なベクトル場を伴う移流拡散方程式に対して、非変分的手法を用いて Hölder 正則性を証明できるか。
• RQ3 速度場 $w = DH(\nabla u)$ に発散自由条件がない場合、De Giorgi 型正則性理論の適用が不可能になるか。その場合、新たなアプローチがこれを克服できるか。
• RQ4 非線形項と拡散項がバランスをとる臨界定常ケース $s=1/2$ が、超臨界定常ケース $s>1/2$ と同じ正則性結果を満たすか。
• RQ5 超臨界定常ケース $s<1/2$ における解の正則性は何か。これは臨界定常および超臨界定常領域と本質的に異なるか。

主な発見

• ハミルトニアン・ジャコビ方程式の解 $u$ は、$s=1/2$ の場合、空間的および時間的ともに $C^{1,\alpha}$ スムーズである。$H$ が局所リプシッツ連続でかつ必ずしも凸でない場合でも成り立つ。
• 発散自由でない条件を要しない有界なベクトル場 $w \in L^\infty$ を伴う方程式 $v_t + w \cdot \nabla v + (-\Delta)^{1/2}v = 0$ に対して、新しい非変分的 Hölder 評価が確立され、従来の結果の顕著な一般化である。
• 証明は、空間時空のシリンダ内での解の振幅を制御する、新たな振幅減少補題（補題 5.1）に依存しており、これにより $\nabla u$ の Hölder 継続性が導かれる。
• この結果により、$s=1/2$ の場合、方程式が古典的意味で適切に定式化されていることが確認され、以前の研究で残された未解決問題（一次元の場合を含む）が解決された。
• 超臨界定常ケース $s<1/2$ では、Kiselev, Nazarov, Shterenberg の構成に基づく系より、解が特異性を示す可能性がある。
• バリア関数と比較原理を用いた構成により、Perron の方法を用いて連続な粘性解の存在が確立された。