[論文レビュー] On the digital representation of integers with bounded prime factors

Yann Bugeaud|Osaka City University (Osaka City University)|Sep 26, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、与えられた基数 $b$ における、有界な素因数を持つ整数のデジタル表現を調査し、基数 $b$ で割り切れないが小さな素因数のみからなる大きな整数は、その基数 $b$ 展開において少なくとも4つの非ゼロ桁を持つ必要があることを示している。ディオファントス近似の道具——特に対数の線形形式とシュミート部分空間定理——を用いて、このような整数の最大素因数に対する有効な下界を確立し、それが $\log\log n$ の任意のべきよりも速く増大することを証明している。

ABSTRACT

Let $b \ge 2$ be an integer. Not much is known on the representation in base $b$ of prime numbers or of numbers whose prime factors belong to a given, finite set. Among other results, we establish that any sufficiently large integer which is not a multiple of $b$ and has only small (in a suitable sense) prime factors has at least four nonzero digits in its representation in base $b$.

研究の動機と目的

• 基数 $b$ 展開において、小さな素因数のみをもち、非ゼロ桁が少ない整数が、任意に大きく取り得るかを同定すること。
• 与えられた基数において、非ゼロ桁が少ない整数の最大素因数に対する有効な下界を確立すること。
• 二進数および三進数形式に関する既知の結果を、非ゼロ桁が3つの場合にまで拡張すること。
• このような整数の最大素因数の成長に関する明示的かつ計算可能な境界を提供すること。シュミート部分空間定理による定性的な結果を改善する。

提案手法

• シュミート部分空間定理を適用し、基数 $b$ において高々 $k$ 個の非ゼロ桁をもつ整数の $S$-部（$S$ に属する素因数の積）が、その数の任意の正のべきよりも遅く増大することを示し、最大素因数が無限大に近づくことを示唆する。
• 対数の線形形式を用いて、基数 $b$ において正確に3つの非ゼロ桁をもつ整数の最大素因数に対する有効な下界を導出する。
• 3つの対数の線形形式の理論を用いて、このような数の $S$-部の大きさを推定し、$[u_j^{(3)}]_S \leq (u_j^{(3)})^{1 - c_4}$ の形の「パワー・セービング」境界を導く。
• 証明において算術-幾何平均不等式を適用し、$u_j^{(3)}$ の平方自由部に対する下界を導出し、最大素因数に関する結果を強化する。
• 素数定理の推定と対数の境界を組み合わせ、数の大きさとその最大素因数の増大度の関係を関係づける。
• 基数 $b$ と許可された素因数の集合 $S$ のみに依存する有効な定数を導出し、境界が計算可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基数 $b$ で割り切れず、小さな素因数のみからなる整数が、基数 $b$ 展開で2つまたは3つの非ゼロ桁しか持たないような、任意に大きな整数が存在しうるか？
• RQ2 このような整数の最大素因数が、数が大きくなるにつれてどの程度の速度で増大するか？
• RQ3 基数 $b$ において正確に3つの非ゼロ桁をもつ整数の最大素因数に対して、有効な下界を確立できるか？
• RQ4 このような整数の $S$-部（固定された集合 $S$ からの素因数のべきの積）は、元の数全体と比べてどの程度の大きさか？
• RQ5 弱い互いに素の仮定のもとで、$a^m + b^n + 1$ のようなより一般的な形へ結果を拡張できるか？

主な発見

• 任意の基数 $b \geq 2$ および素数の有限集合 $S$ に対して、基数 $b$ において高々3つの非ゼロ桁をもつ任意の大きな整数 $u_j^{(3)}$ について、$[u_j^{(3)}]_S \leq (u_j^{(3)})^{1 - c_4}$ が成り立ち、ここで $c_4 > 0$ は $b$ と $S$ に依存する有効に計算可能な定数である。
• このような整数の最大素因数 $P[u_j^{(3)}]$ は、十分に大きな $j$ に対して、$P[u_j^{(3)}] > (1 - \varepsilon) \log\log u_j^{(3)} \cdot \frac{\log\log\log u_j^{(3)}}{\log\log\log\log u_j^{(3)}}$ を満たし、$b$ と $\varepsilon$ に依存する有効な定数を含む。
• $b$ で割り切れず、$\left(1 - \varepsilon\right) \log\log n \cdot \frac{\log\log\log n}{\log\log\log\log n}$-スムーズであるような任意の整数 $n > n_0$ は、その基数 $b$ 展開において少なくとも4つの非ゼロ桁を持つ必要がある。
• 平方自由部 $Q[u_j^{(3)}]$ は、$j$ が十分に大きいとき、$Q[u_j^{(3)}] > \exp\left(c_1 \cdot \log\log u_j^{(3)} \cdot \frac{\log\log\log u_j^{(3)}}{\log\log\log\log u_j^{(3)}}\right)$ を満たし、ここで $c_1 > 0$ は $b$ のみに依存する有効な定数である。
• 証明により、指数 $c_4$ の許容可能な値が非常に小さくなることが示され、$S$-部に対する強いパワー・セービング境界であることが示唆される。
• 結果は有効である：関係するすべての定数は $b$ と $S$ から計算可能であり、すべての十分に大きなインデックス $j$ に対して一様に成り立つ。