[論文レビュー] On The Dimension of The Virtually Cyclic Classifying Space of a Crystallographic Group

Frank Connolly, Benjamin Fehrman+1 more|ArXiv.org|Oct 12, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ランク $n \geq 2$ の結晶格子群 $\Gamma$ について、準無限的部分群の族に関する分類空間 $B_{\mathcal{VC}}\Gamma$ の幾何的モデルを構築する。翻訳部分群の最大巡回部分群に固定される直線の上に取り付けられたマッピングシリンダーの和集合を用いて、このモデルはホモトピー次元を $n+1$ に実現し、より小さい次元のモデルが存在しないことを証明する。これにより、$h\dim(B_{\mathcal{VC}}\Gamma) = \mathrm{vcd}(\Gamma)+1$ が成立することが確認される。これは、リー群の離散部分群に対する、準無限的分類空間の次元に関する予想を支持する。

ABSTRACT

In this paper we construct a model for the classifying space, BVCG, of a crystallographic group G of rank n relative to the family VC of virtually-cyclic subgroups of G. The model is used to show that there exists no other model for the virtually-cyclic classifying space of G with dimension less than vcd(G)+1, where vcd(G) denotes the virtual cohomological dimension of G. In addition, the dimension of our construction realizes this limit.

研究の動機と目的

• 結晶格子群 $\Gamma$ について、準無限的部分群の族に関する分類空間 $B_{\mathcal{VC}}\Gamma$ の幾何的に明示的なモデルを構築すること。
• ランク $n \geq 2$ の結晶格子群に対して、$B_{\mathcal{VC}}\Gamma$ の最小可能なホモトピー次元を特定すること。
• 構築されたモデルが理論的下界 $\mathrm{vcd}(\Gamma)+1$ の次元を達成していることを検証すること。
• リー群の離散部分群に対するより広範な予想の根拠を提供すること。

提案手法

• 翻訳部分群の最大巡回部分群 $C$ に固定される直線の上にマッピングシリンダー $Cyl(\pi_C)$ を取り付け、$\Gamma$-CW複体 $E_{\mathcal{VC}}\Gamma$ を構成する。
• $\mathbb{R}^n \times I \times \mathcal{C}$ 上に同値関係を定義し、商空間 $E_{\mathcal{VC}}\Gamma$ を得る。これにより $\Gamma$-作用の整合性が保証される。
• すべての準無限的部分群 $H \subset \Gamma$ に対して固定点集合 $E^{H}$ が収縮可能であることを示し、$E_{\mathcal{VC}}\Gamma$ が $\mathcal{VC}$-普遍的であることを確認する。
• $Cyl(\pi_C)/A \to D^2 \times T^{n-1}$ の同相写像を確立し、各成分が固体 $n+1$-トーラスであることを示す。
• 軌道空間 $B_{\mathcal{VC}}\Gamma = (E_{\mathcal{VC}}\Gamma / A) / G$ を用いて、分類空間を、共通の境界 $T^n$ を共有する無限個の固体 $n+1$-トーラスの $G$-商として記述する。
• セル層鎖を用いて $n+1$ 階ホモロジー群を計算し、非共轭な巡回部分群からの鎖を用いて非自明性を示し、$h\dim(B_{\mathcal{VC}}\Gamma) \geq n+1$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク $n \geq 2$ の結晶格子群 $\Gamma$ の分類空間 $B_{\mathcal{VC}}\Gamma$ の最小可能なホモトピー次元は何か？
• RQ2 $B_{\mathcal{VC}}\Gamma$ の幾何的に明示的なモデルを、この最小次元を実現する形で構築できるか？
• RQ3 結晶格子群に対して、$B_{\mathcal{VC}}\Gamma$ の次元は $\mathrm{vcd}(\Gamma)+1$ に等しいか？
• RQ4 この構成は、リー群のすべての離散部分群に対して $h\dim(B_{\mathcal{VC}}\Gamma) = \mathrm{vcd}(\Gamma)+1$ が成り立つというより広範な予想を支持するか？

主な発見

• 構築された $B_{\mathcal{VC}}\Gamma$ のモデルは、次元 $n+1$ の CW複体であり、次元 $n+1$ を実現している。
• ランク $n \geq 2$ の結晶格子群に対して、ホモトピー次元 $h\dim(B_{\mathcal{VC}}\Gamma)$ は正確に $n+1$ である。
• この構成により、$B_{\mathcal{VC}}\Gamma$ のモデルが $\mathrm{vcd}(\Gamma)+1$ よりも小さい次元ではあり得ないことが証明され、この場合 $\mathrm{vcd}(\Gamma)+1 = n+1$ に一致する。
• $B_{\mathcal{VC}}\Gamma$ は、共通の境界 $T^n$ を共有する無限個の固体 $n+1$-トーラスの $G$-作用の軌道空間と同相である。
• セルホモロジーを用いて $H_{n+1}(B_{\mathcal{VC}}\Gamma)$ の非自明性を示し、非共轭な巡回部分群からの鎖を用いて次元下界を確認した。
• この結果は、$h\dim(B_{\mathcal{VC}}\Gamma) = \mathrm{vcd}(\Gamma)+1$ が、結晶格子群に限らず、リー群のすべての離散部分群に対しても成り立つという予想を支持する。