[論文レビュー] On the Direct Cauchy Theorem in Widom Domains: Positive and Negative Examples

Peter Yuditskii|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2010

Holomorphic and Operator Theory参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、Widom領域における直接コーシー定理（DCT）を検討し、非一様集合 $E$ である、特定の対称的かつ一様に分離された区間や、変更された Benedicks 型集合ですら、弱い一様性条件を満たさない場合でも DCT が成立することを示している。主な結果として、重み付きWidom条件と無限の対数的長さの下で、領域 $\mathbb{C} \setminus E_{\delta,q}$ において DCT が成立することを確立し、境界値が可積分である非自明なスミルノフクラス関数の存在を保証している。

ABSTRACT

We discuss several questions which remained open in our joint work with M. Sodin "Almost periodic Jacobi matrices with homogeneous spectrum, infinite-dimensional Jacobi inversion, and Hardy spaces of character--automorphic functions". In particular, we show that there exists a non-homogeneous set $E$ such that the Direct Cauchy Theorem (DCT) holds in the Widom domain $\bbC\setminus E$. On the other hand we demonstrate that the weak homogeneity condition on $E$ (introduced recently by Poltoratski and Remling) does not ensure that DCT holds in the corresponding Widom domain.

研究の動機と目的

• 先行研究におけるリフレクションレスジャコビ行列およびリーマン面上のハーディー空間に関する未解決問題を解消すること。
• 非一様集合 $E$ に対して、Widom領域における直接コーシー定理（DCT）が成立するかを特定すること。
• ポルトラツキとレムリングが導入した弱い一様性条件が、対応するWidom領域におけるDCTの成立を保証するかを検討すること。
• 対称的Widom領域において対数的長さが無限大である場合に、DCT が成立する十分条件を確立すること。

提案手法

• 万有被覆 $\Omega = \mathbb{C} \setminus E$ 上の一般化されたアーベル写像と特性自己同型関数を用い、除数 $D(E)$ を双対群 $\Gamma^*$ に結びつける。
• コウシスの基準を適用し、$\int_{\mathbb{R}} G(t,z) dt < \infty$ のとき $E$ がアキエール・レヴィン集合であることを確認し、$\lim_{y \to \infty} \mathcal{M}_E(iy)/y > 0$ を示す。
• 非自明なスミルノフクラス関数 $F$ に対して $\int_{E_\delta} |F(x)| dx \leq 1$ を満たすものから、事前指数的評価を用いて整関数 $H(z) = \int_{-\delta'}^{\delta'} F(z+t) dt$ を構成する。
• 領域 $\Omega = \mathbb{C} \setminus E_\delta$ において、フラグメン＝リンデルーフの原理を適用し、$|H(z)| \leq e^{\epsilon \mathcal{M}_E(z)}$ を示す。これにより $H$ が定数関数となり、結果として $F$ も定数関数であることが導かれ、$F$ が非自明である場合に矛盾が生じる。
• 修正された Benedicks 型集合 $E_{\delta,q}$ が、重み付きWidom条件 $\sum G(c_k,i)(b_k - a_k) < \infty$ および無限の対数的長さ $\int_{E_\delta} dx/(1+|x|) = \infty$ を満たすことを検証し、これにより DCT が成立することを保証する。
• DCT を用いて、$\tilde{E} = \{0\} \cup \{x : 1/x \in E_{\delta,q}\}$ 上のすべてのリフレクションレスジャコビ行列がほとんど周期的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様集合 $E$ に対して、Widom領域における直接コーシー定理（DCT）は成立するか？
• RQ2 ポルトラツキとレムリングが提唱した弱い一様性条件は、対応するWidom領域におけるDCTの成立を保証するのに十分か？
• RQ3 対称的Widom領域において、一様に分離された区間を持つ場合、$E$ に対してDCT が成立する条件は何か？
• RQ4 対称的摂動が、ベニデックスの集合に類する集合に対してDCTを保存するか、特に対数的長さが無限大である場合にどうか？
• RQ5 DCT はリフレクションレスジャコビ行列のスペクトル理論にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 区間 $b_k - a_k \geq 1$ かつ $\sum G(c_k,i)(b_k - a_k) < \infty$ であるとき、$E_\delta = \mathbb{R} \setminus \bigcup_{k=-\infty}^\infty (a_k + \delta, b_k - \delta)$ に対して、$\int_{E_\delta} dx/(1+|x|) = \infty$ ならば、$\Omega_\delta = \mathbb{C} \setminus E_\delta$ において DCT が成立する。
• 幾何級数の区間をベニデックス型集合に加えた非一様集合 $E_{\delta,q}$ は、$\mathbb{C} \setminus E_{\delta,q}$ において DCT が成立する条件を満たす。
• 弱い一様性条件は DCT を保証しない。反例により、弱い一様性を満たしても DCT が成立しない場合があることが示された。
• 非自明な整関数 $F$ がスミルノフクラスに属し、$\int_{E_\delta} |F(x)| dx \leq 1$ を満たす場合、DCT が成立しないと仮定すると矛盾が生じる。これにより、提示された条件下では DCT が必ず成立する。
• $p > 1$ のとき、$\tilde{E} = \{0\} \cup \{x : 1/x \in E_{\delta,q}\}$ は、DCT の結果として、唯一ほとんど周期的なリフレクションレスジャコビ行列を支持する。