[論文レビュー] On the directions determined by Cartesian products and the clique number of generalized Paley graphs

Chi Hoi Yip|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 21被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、素数べき位数の有限体上のアフィンガロア平面におけるデカルト積が形成する方向に関する結果を拡張し、一般化されたペイリー群におけるクリーク数の自明な上界 √q よりも良い下界を示している。立方ペイリー群の場合、上界を 0.769√q + 1 にまで低下させ、ほとんどすべての非平方 q に対して、任意の h(x) = o(x) に対して √q − h(q) に改善している。この結果は、等分布性と Rédei 型多項式法を用いて得られている。

ABSTRACT

It is known that the number of directions formed by a Cartesian product $A imes B \subset AG(2,p)$ is at least $|A||B| - \min\{|A|,|B|\} + 2$, provided $p$ is prime and $|A||B|

研究の動機と目的

• AG(2,p) におけるデカルト積が形成する方向数の既知の下界を、素数べき q に対する AG(2,q) に拡張すること。
• F_q 上の一般化されたペイリー群におけるクリーク数の自明な上界 √q を改善すること。
• 立方ペイリー群に対してより鋭い上界を確立し、上界を √q から 0.769√q + 1 にまで低下させること。
• 任意の h(x) = o(x) に対して、ほとんどすべての非平方 q に対してクリーク数が √q − h(q) 未満であることを示すこと。
• Rédei 多項式と等分布性の議論を用いて、デカルト積における方向数とクリーク数の関係を確立すること。

提案手法

• [3] の補題 1.5 を素数べき位数の有限体に一般化し、多項式の因数分解と相対的素性条件を用いる。
• Rédei 多項式と Szőnyi の拡張を用いて、A×B ⊂ AG(2,q) における方向集合の構造を分析する。
• 一般化されたペイリー群のクリークにおける方向はすべて d 乗数または ∞ でなければならないことを利用して、可能な方向の数を制限する。
• 特定の算術級数内の素数における {p^{r−1/2}} の整数部分の等分布性を用いて、例外的なケースの密度を制御する。
• 方向数に関する定理 1.6 と定理 6.5 を組み合わせ、p による整除性を介してクリークサイズに制約を加える。
• 漸近的解析と o(x) 条件を用いて、改善された上界に反する素数の集合が相対的密度ゼロであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q が素数べきであるとき、AG(2,q) 内のデカルト積 A×B が決定する最小の方向数は何か？
• RQ2 方向数の上界をどのように活用することで、一般化されたペイリー群におけるクリーク数の上界を改善できるか？
• RQ3 F_q 上の立方ペイリー群において、クリーク数の自明な √q 上界を改善できるか？
• RQ4 特に非平方 q の密度に関して、h(x) = o(x) のとき、クリーク数が √q − h(q) 未満に抑えられるのはどの程度の範囲か？
• RQ5 p^{r−1/2} の小数部分の等分布性は、クリーク数に対するほぼすべての q に対する上界を確立する上で果たす役割は何か？

主な発見

• |A||B| < q のとき、AG(2,q) 内の A×B ⊂ AG(2,q) が決定する方向数は、|A||B| − min{|A|,|B|} + 2 よりも大きい。これは、AG(2,p) における結果を AG(2,q) に拡張したものである。
• 立方ペイリー群 (d=3) の場合、クリーク数は 0.769√q + 1 未満である。これは自明な √q 上界を改善している。
• 任意の関数 h(x) = o(x) に対して、F_q 上の一般化されたペイリー群のクリーク数は、ほとんどすべての非平方 q に対して √q − h(q) 未満である。
• 改善された上界に反する素数 p の集合は、p ≡ 1 mod 2d かつ p^{2r+1} ≡ 1 mod 2d を満たす素数の集合において相対的密度ゼロである。
• 証明の鍵は、クリーク数が √q − h(p) を超えるならば、ある連続する整数の区間が p の倍数を含まなければならないことであるが、これは等分布性によりまれである。
• 主な技術的洞察は、{p^{r−1/2}} の小数部分が整数単位で等分布していることであり、これにより、上界が失敗する例外的素数の測度が制限される。