[論文レビュー] On the Dirichlet Problem for Backward Parabolic Stochastic Partial Differential Equations in General Smooth Domains

Kai Du, Shanjian Tang|ArXiv.org|Oct 13, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、一般の滑らかな領域におけるディリクレ境界条件を満たす後向き放物型確率偏微分方程式（BSPDE）の解の存在および一意性を、導関数が境界で発散する可能性を許容する重み付きソボレフ空間を用いて確立する。この手法は、クリロフの方法を継続法および差分商を用いて拡張し、弱い係数条件のもとで内部正則性を証明し、重み付きノルムにおける $L^2$-型推移的推定を得る。

ABSTRACT

Backward stochastic partial differential equations of parabolic type with variable coefficients are considered in smooth domains. Existence and uniqueness results are given in weighted Sobolev spaces allowing the derivatives of the solutions to blow up near the boundary.

研究の動機と目的

• 非凸または非円柱型の滑らかな領域における後向き放物型SPDEのディリクレ問題について、一般の存在および一意性結果が不足しているという問題に取り組む。
• 空間的導関数が境界付近で発散する可能性がある重み付きソボレフ空間における解の正則性を確立する。
• Cauchy問題の設定を超えて、$L^2$-理論をBSPDEに拡張し、無限遠における減衰性に依存する従来の手法の制限を克服する。
• 係数に弱い仮定（ Hölder連続性および有界性のみ）を課した場合の事前推定および正則性結果を提供する。

提案手法

• 境界付近での導関数の発散を許容する重み付きソボレフ空間を採用する。
• 切断関数と座標の平坦化を用いた局所化技術により、問題を半空間設定に還元する。
• 継続法および差分商を用いて、高階導関数のための事前推定を導出する。
• 変数変換と分区単位による局所化を用いて、一般の滑らかな領域を扱う。
• 距離関数を含む変換を介して、局所座標における解と半空間における解を比較することで、重み付きノルムにおける推定を確立する。
• グローヴァルの不等式と数学的帰納法を用いて、低階数から高階数のソボレフノルムへの正則性の伝播を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の滑らかな領域における後向き放物型BSPDEのディリクレ境界条件を満たす適応解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 導関数が境界付近で発散する場合、解の正則性をどのように定量的に記述できるか？
• RQ3 係数 $a, \nabla \rho, \nu, \text{ および } \theta$ にどのような条件を課すと、重み付きソボレフ空間における解ノルムの有限性が保証されるか？
• RQ4 Cauchy問題からディリクレ問題への $L^2$-理論の拡張は、無限遠における減衰性を仮定せずに可能か？

主な発見

• 係数およびデータにやや弱い条件が課された場合、解 $(p, q)$ は重み付きソボレフ空間 $\mathbb{H}^{n+1}(\mathcal{D})$ 内に一意に存在する。
• 解は事前推定 $\|p_x\|_{n+1,Q}^2 + \mathbb{E} \sup_{t \leq T} \|p(t,\cdot)\|_{n+1,\mathcal{D}}^2 + \|q\|_{n+1,Q}^2 \leq C(\|\psi F\|_{n,Q}^2 + \|\phi\|_{n+1,\mathcal{D}}^2 + \|q\|_{Q}^2)$ を満たす。ここで $C$ は $n, K, \rho_0, \kappa$ および $a$ と $\sigma$ のモジュラス連続性に依存する。
• 内部正則性が確立されている：$p \in \mathbb{H}^{n+1}(\mathcal{D})$ かつ $q \in \mathbb{H}^{n}(\mathcal{D})$ であり、$n$ 階導関数が $L^2$-型ノルムで有界である。
• 解の閉形式が明示的に与えられない場合でも、差分商および継続法を用いることで、$p$ や $q$ が条件付き期待値で表現できない場合でも、手法が成立する。
• 係数が有界で可測であり、空間に関してモジュラス連続性を満たし、$a$ が一様強烈楕円的であるという弱い仮定のもとで、結果が成り立つ。