[論文レビュー] On the Dirichlet problem for prescribed mean curvature equation over general domains

Matthias Bergner|ArXiv.org|Dec 6, 2007

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、平均凸性を要件としない一般の有界な $C^{2+\beta}$ 領域上における、所定の平均曲率をもつグラフのディリクレ問題の可解性を確立する。ノイドイドから構成されるバリアと $C^0$ および勾配推定を用いたホモトピー法により、$H(x,0)$ に小さな条件を課すことによって、境界値がゼロの場合の存在性と一意性を証明し、平均凸領域を超えて環状領域や凸領域へと結果を拡張する。

ABSTRACT

We study and solve the Dirichlet problem for graphs of prescribed mean curvature in $\mathbb R^{n+1}$ over general domains $Ω$ without requiring a mean convexity assumption. By using pieces of nodoids as barriers we first give sufficient conditions for the solvability in case of zero boundary values. Applying a result by Schulz and Williams we can then also solve the Dirichlet problem for boundary values satisfying a Lipschitz condition.

研究の動機と目的

• 一般の平均凸でない領域上における $ ^{n+1}$ 内の所定の平均曲率をもつグラフのディリクル問題を解くこと。
• 通常の可解性に要件とされる領域 $\Omega$ の古典的平均凸性仮定を緩和すること。
• より弱い幾何的および曲率的条件下で境界値がゼロの場合の解の存在性と一意性を確立すること。
• $H(x,0)$ に小さな条件を課すことにより、$C^0$ および境界勾配推定を保証し、レーライ・シュアウダー法の適用を可能にする。
• バリア構成を用いて、凸領域や境界データが部分的に所定の領域へと結果を一般化すること。

提案手法

• 解の境界近傍における挙動を制御するため、ノイドイドの断片を用いてバリアを構築する。
• $t \in [0,1]$ でパラメータ化された方程式のホモトピー族にレーライ・シュアウダーの不動点定理を適用する。
• 所定の平均曲率がゼロ高さにおける小さな条件 $h < \frac{2(2r)^{n-1}}{(2r+d)^n - (2r)^n}$ を用いて、グローバルな $C^0$-ノルム推定を導出する。
• ノイドイドバリアを用いて $H_z \geq 0$ の条件下で境界勾配推定を確立する。
• 最大原理を用いて $H_z \geq 0$ の仮定の下で一意性を証明する。
• 環状領域における半径 $r \to \infty$ の極限をとることにより、凸領域に対するコロナリー1を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均凸でない領域上でも、所定の平均曲率をもつグラフのディリクル問題は解けるか？
• RQ2 $H(x,0)$ にどのような小さな条件を課すと、境界値がゼロの解が存在するか？
• RQ3 領域が平均凸性を欠いている場合、所定の平均曲率方程式に対して効果的なバリアをどのように構成できるか？
• RQ4 $H_z \geq 0$ の仮定が解の存在と一意性を保証するための条件は何か？
• RQ5 結果は凸領域や境界データが部分的に所定の領域へと拡張可能か？

主な発見

• 領域 $\Omega$ が一様外接球条件を満たし、かつ $\sup_{x \in \Omega} |H(x,0)| < \frac{2(2r)^{n-1}}{(2r+d)^n - (2r)^n}$ を満たすならば、境界値がゼロの場合、$C^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ 内に所定の平均曲率グラフのディリクル問題は一意解をもつ。
• $H(x,0)$ に課す小さな条件は幾何的に意味を持ち、体積や直径ではなく外半径 $r$ と領域の幅 $d$ に依存する。
• 幅 $d$ の凸領域では、小さな条件は $h < \frac{2}{nd}$ に簡略化され、外接球半径 $r \to \infty$ の極限においてこれが鋭い。
• $H_z \geq 0$ の条件は、一意性だけでなく、バリア法によるグローバル勾配推定の達成に対しても本質的である。
• 本手法は平均凸でない領域、例えば環状領域に対しても適用可能であり、極限をとることで凸領域へと拡張可能である。
• 同様のバリア技術を用いて、境界データが部分的に所定の領域や異方的平均曲率に対しても結果を一般化可能である。