[論文レビュー] On the Dirichlet problem for solutions of a restricted nonlinear mean value property

Ángel Arroyo, José G. Llorente|Project Euclid (Cornell University)|Nov 14, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、p-ラプラシアン作用素に関連する制限付き非線形平均値性質を満たす関数のディリクレ問題の解の存在および一意性を確立する。supremumとinfimumの平均（S）および平均値作用素（M）の凸結合として定義される作用素 $ T_\alpha = \alpha S + (1-\alpha)M $ を用いて、連続な境界データに対して $ C(\overline{\Omega}) $ 内に一意な不動点が存在することを、距離的不動点理論および比較原理を用いて証明する。

ABSTRACT

We give an analytic proof of the solution of Dirichlet Problem for continous functions satisfying a nonlinear mean value problem related to the p-laplace operator and certain stochastic games.

研究の動機と目的

• 制限付き非線形平均値性質を満たす関数のディリクレ問題の解の存在および一意性を、p-ラプラシアンに関連するものとして確立すること。
• 作用素 $ T_\alpha = \alpha S + (1-\alpha)M $ を分析すること。ここで $ S $ は球上でのsupとinfの組み合わせであり、$ M $ は平均値作用素である。
• $ \alpha = 0 $（調和関数）および $ \alpha = 1 $（調和的関数）の既知の結果を、$ \alpha \in [0,1) $ の中間値に拡張すること。
• 領域および半径関数に適切な幾何的・正則性条件が課された下で、解作用素 $ T_\alpha $ が $ C(\overline{\Omega}) $ 内に一意な不動点を持つことを証明すること。

提案手法

• 作用素 $ T_\alpha = \alpha S + (1-\alpha)M $ を定義する。ここで $ S u(x) = \frac{1}{2}(\sup_{B_x} u + \inf_{B_x} u) $ および $ M u(x) = \fint_{B_x} u \, d\mu $ である。
• 作用素 $ H_\alpha = \frac{1}{2}(I + T_\alpha) $ を用いた動的計画法の原理により、空間 $ C(\overline{\Omega}) $ 内の反復列を生成する。
• 石川の不動点定理を適用して、列 $ \{H_\alpha^k u_0\} $ が $ T_\alpha $ の不動点に一様収束することを示す。
• 測度 $ \mu $ を用いた背理法に基づいて、境界における $ \{T_\alpha^k u\} $ および $ \{H_\alpha^k u\} $ の等連続性を確立する。
• 比較原理を証明する：$ u \leq v $ が $ \partial\Omega $ 上で成り立ち、$ T\_\alpha u = u $、$ T_\alpha v = v $ ならば、$ \Omega $ 内で $ u \leq v $ が成り立つ。
• アーヴェラ・アスコリの定理を用いて、反復列から一様収束する部分列を抽出し、解への収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \alpha \in [0,1) $ の場合に、非線形平均値性質 $ T_\alpha u = u $ を満たす関数のディリクレ問題が、$ C(\overline{\Omega}) $ 内に一意な解を持つだろうか？
• RQ2 Lipschitz条件を満たす一般の許容可能半径関数のもとで、作用素 $ T_\alpha = \alpha S + (1-\alpha)M $ の解の存在および一意性を確立できるだろうか？
• RQ3 解作用素 $ T_\alpha $ は $ C(\overline{\Omega}) $ 上で収縮写像または非拡大写像であるだろうか？これにより不動点技法が利用可能になるだろうか？
• RQ4 非線形平均値性質 $ u(x) = \alpha \cdot \frac{1}{2}(\sup_{B_x} u + \inf_{B_x} u) + (1-\alpha) \fint_{B_x} u \, d\mu $ は、$ p \geq 2 $ の場合にp-ラプラシアンとどのように関係するだろうか？
• RQ5 このクラスの非線形作用素に対して、比較原理を拡張することで一意性を保証できるだろうか？

主な発見

• $ \Omega $ が有界で、$ r $ がLipschitz性を満たす許容可能半径関数である限り、$ f \in C(\partial\Omega) $ に対して、$ \Omega $ 内で $ T_\alpha u = u $、境界で $ u = f $ を満たす解が $ C(\overline{\Omega}) $ 内に一意に存在する。
• 解は、$ H_\alpha = \frac{1}{2}(I + T_\alpha) $ を用いた反復列 $ H_\alpha^k u_0 $ の一様極限として得られる。石川の不動点定理が適用される。
• $ \{H_\alpha^k u_0\} $ は $ \overline{\Omega} $ 上で等連続であり、アーヴェラ・アスコリの定理により収束が保証される。
• 比較原理が成り立つ：$ u \leq v $ が $ \partial\Omega $ 上で成り立ち、$ T_\alpha u = u $、$ T_\alpha v = v $ ならば、$ \Omega $ 内で $ u \leq v $ が成り立つ。これにより一意性が保証される。
• $ T_\alpha $ の不動点は $ H_\alpha $ の不動点でもあり、収束 $ H_\alpha^k u_0 \to \widetilde{u} $ は $ \overline{\Omega} $ 上で一様である。
• 古典的結果（$ \alpha = 0 $：平均値性質による調和関数、$ \alpha = 1 $：sup-inf平均値性質による調和的関数）が、$ \alpha \in (0,1) $ の中間値に拡張され、$ p = \frac{d+p}{d+p-2} $ に対応するp-ラプラシアンと結びつけられる。