[論文レビュー] On the discrepancy principle

А. Г. Рамм|ArXiv.org|Apr 17, 2003

Numerical methods in inverse problems参考文献 2被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、線形不適切な問題における変分正則化と不一致原理（DP）の収束性について、簡単な証明を提供する。標準的な仮定の下で、DPが真の解への収束をもたらすことを示す。さらに、DPがデータに関して一様収束を保証しないこと、および非線形作用素方程式における収束を保証する事前正則化パラメータ選択法を提案する。

ABSTRACT

A simple proof of the convergence of the variational regularization, with the regularization parameter, chosen by the discrepancy principle, is given for linear operators under suitable assumptions. It is shown that the discrepancy principle, in general, does not yield uniform with respect to the data convergence. An a priori choice of the regularization parameter is proposed and justified for some nonlinear operator equations.

研究の動機と目的

• 線形、有界、単射作用素に対して、正則化パラメータが不一致原理によって選ばれる場合の変分正則化法の収束を確立すること。
• 不適切な問題におけるノイズのあるデータに関して、不一致原理が一様収束を保証するかを調査すること。
• 非線形作用素方程式に対して収束を達成するための、事前正則化パラメータ選択を提案・正当化すること。
• コンパクトかつ単射でない作用素への収束結果の拡張、特に非自明な核を有する場合を含むこと。
• 不一致原理が一様収束をもたらさないことを、有界なデータ摂動を伴う反例を構成することで示すこと。

提案手法

• Tikhonov型汎関数 $ F(u) = ||Au - f_{ u}||^2 + a||u||^2 $ を用いた変分正則化を採用し、$ u $ について最小化して $ u_a $ を得る。
• 不一致原理を用いて $ a = a(\nu) $ を、$ ||Au_a - f_{ u}|| = C\nu $ を満たす解として選択する。$ C \geq 1 $ であり、残差がノイズレベルと一致することを保証する。
• スペクトル理論と作用素恒等式、特に $ u_a = (B + a)^{-1}A^*f_{ u} $（$ B = A^*A $）を用いて収束挙動を分析する。
• 弱収束とコンパクト性の議論を用いて $ u_{\nu} \rightharpoonup y $ を示し、ノルムの下方連続性と $ ||u_{\nu}|| \to ||y|| $ を用いて強い収束を証明する。
• 非線形問題に対しては、$ F(u) = ||Au - f_{\nu}|| + \nu||u||_1 $（$ ||\cdot||_1 $ は稠密部分空間 $ H_1 $ 上の強いノルム）の汎関数を導入し、事前誤差境界を用いる。
• 作用素 $ A $ のスペクトル解析を用いて反例を構成し、$ \mu_j = j^{-1} $ を固有値として用い、$ ||Tf_{\nu} - TAv|| \geq c\nu / \sqrt{a} $ を示し、一様収束の失敗を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不一致原理は、線形不適切な問題において、正則化解が真の解に収束するか？
• RQ2 不一致原理は非線形作用素方程式に拡張可能か？ もし可能であれば、どのような条件下で？
• RQ3 不一致原理はデータ $ f_{\nu} $ に関して一様収束をもたらすか、それともデータ依存の収束速度があるか？
• RQ4 作用素 $ A $ がコンパクトでも単射でもない場合、正則化解の挙動はいかなるものか？
• RQ5 非線形問題において、不一致原理を置き換えることのできる事前パラメータ選択は可能か？ そして、収束を保証するには？

主な発見

• 標準的な仮定の下で、$ A $ がコンパクトまたはそうでない線形、有界、単射作用素に対して、$ \nu \to 0 $ のとき $ \|u_{\nu} - y\| \to 0 $ が成り立つ。
• $ A $ が単射でなくても、解 $ y $ が $ N(A) $ に直交する場合、正則化解 $ u_{\nu} $ が $ N(A) $ の直交補空間に留まることを前提に、収束は成立する。
• 不一致原理は $ f_{\nu} $ に関して一様収束をもたらさない：$ \nu \to 0 $ であっても、$ \sup_{v \in S_{\nu}} \|u_{\nu} - v\| \geq c > 0 $ を満たすデータ列が存在する。
• 非線形問題において、$ F(u) = ||Au - f_{\nu}|| + \nu||u||_1 $ とし、$ u_{\nu} $ が $ F(u_{\nu}) \leq \inf F + \nu $ を満たすように選ぶことで、$ \|u_{\nu} - y\| \to 0 $ が、単射性と $ y \in H_1 $ の下で成立する。
• $ f_{\nu} $ が固定され、$ A $ の値域に属さない反例を構成し、$ a = a(\nu) \sim c_1 \nu^2 $ とすると、$ \|u_{\nu} - v_{\nu}\| \geq c > 0 $ となる。これにより、非一様収束が証明される。
• $ A $ がコンパクトで、$ f_{\nu} \notin R(A) $ のとき、$ v_{\nu} = B^b z_a $ は収束せず、$ \|v_{\nu}\| \to \infty $ となる。これは収束に矛盾し、非一様性を証明する。