[論文レビュー] On the distance between probability density functions

Vlad Bally, Lucia Caramellino|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、マリヤン・ソボレフノルムを用いて、ウィーナー空間上の汎関数とポアソン点過程の確率密度関数の間の距離についての上限を確立する。高次のマリヤン・ソボレフ空間で有界な列の分布収束が、全 Variation 距離での収束を意味することを証明し、密度の導関数に関する追加の正則性結果と、マリヤン共分散行列に基づく絶対連続性の基準を提示する。

ABSTRACT

We give estimates of the distance between the densities of the laws of two functionals $F$ and $G$ on the Wiener space in terms of the Malliavin-Sobolev norm of $F-G.$ We actually consider a more general framework which allows one to treat with similar (Malliavin type) methods functionals of a Poisson point measure (solutions of jump type stochastic equations). We use the above estimates in order to obtain a criterion which ensures that convergence in distribution implies convergence in total variation distance; in particular, if the functionals at hand are absolutely continuous, this implies convergence in $L^{1}$ of the densities.

研究の動機と目的

• マリヤン計算を用いて、ウィーナー空間上の汎関数とポアソン過程の確率密度関数の距離を推定すること。
• 分布収束が全 Variation 距離での収束を意味する条件を確立すること。
• マリヤン計算に基づく密度の存在性と正則性の基準を提示し、ブーロー＝ヒルシュ基準と古典的マリヤン基準を橋渡しすること。
• 部分積分の一般抽象的枠組みを用いて、ジャンプ型確率微分方程式への結果の拡張を行うこと。
• ジャンプ付きの非定常マルコフ過程の具体的な例を通じて、枠組みの適用可能性を示すこと。

提案手法

• 有限次元のノイズに関する汎関数のための部分積分公式に基づく抽象的マリヤン型枠組みを用い、古典的ウィーナー空間計算を一般化する。
• F - G のマリヤン・ソボレフノルムを用いて、F と G の密度間の L^1-距離を推定し、ノイズ次元に依存しない定数を得る。
• 非ガウス型、ジャンプ拡散的文脈におけるリーマン変換と部分積分公式の一般化を実装する。
• マリヤン共分散行列 σ_F の最小固有値の下界によって非退化性条件を確立し、絶対連続性を保証する。
• 時間変換されたポアソン過程と重み関数 π_{k,r} を用いて、ジャンプ強度付きの非定常マルコフ過程 X̄_t^M に枠組みを適用する。
• プロセスのモーメントとその微分に関する [4] の推定値を用い、逆正接フロー Ŷ_t^M に対する一様有界性を証明し、極限における非退化性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d次元の汎関数の列が分布収束するための条件は何か？ その収束が全 Variation 距離での収束を意味するには？
• RQ2 F - G のマリヤン・ソボレフノルムは、それらの確率密度関数の L^1-距離をどのように上界で抑えることができるか？
• RQ3 マリヤン共分散行列 σ_F は、F の分布の絶対連続性と正則性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 この枠組みは、ウィーナー空間を超えて、ポアソンノイズを含むSDEの解のようなジャンプ型過程へ拡張可能か？
• RQ5 密度関数の導関数が分布と一緒に収束するための条件は何か？

主な発見

• すべての p ≥ 1 に対して D^{3,p} に有界な列 F_n が弱い非退化性条件 (2.33) の下で分布収束するならば、全 Variation 距離でも収束する。
• F_n → F in L^2 で、D^{3,p} に有界であり、det σ_F > 0 ほとんど surely ならば、F_n → F は全 Variation で収束する。
• F ∈ D^{2,p} で p > d かつ P(det σ_F > 0) > 0 ならば、σ_F > 0 の上での条件付きで F の分布は絶対連続であり、下半連続な密度を持つ。
• 密度はLebesgue測度により局所的に下から押さえられ、局所的絶対連続性と正則性を示す。
• ジャンプ型SDEの例では、重み付きジャンプ強度の和の下界により非退化性が保証され、P(det σ_{X̄_t^M} ≤ ε) → 0 が ε → 0 のとき、M に一様に成り立つ。
• 非定常マルコフ過程の具体的な例では、θ > 0 かつ p < θt の下で非退化性条件が成り立ち、収束基準が検証される。