[論文レビュー] On the distance from a matrix polynomial to matrix polynomials with two prescribed eigenvalues

E. Kokabifar, Ghasem Barid Loghmani+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、行列多項式固有値の摂動に関する先行研究を拡張し、2つの所定の異なる固有値を持つ多項式の集合への行列多項式のスペクトルノルム距離の下界と上界を導入している。特異値と最適化に基づく新規な摂動構成により、真の距離をきわめて鋭く包み込む境界を計算し、目標固有値を達成する明示的な摂動を含む数値例によって検証されている。

ABSTRACT

Consider an $n imes n$ matrix polynomial $P(λ)$. A spectral norm distance from $P(λ)$ to the set of $n imes n$ matrix polynomials that have a given scalar $μ\in\mathbb{C}$ as a multiple eigenvalue was introduced and obtained by Papathanasiou and Psarrakos. They computed lower and upper bounds for this distance, constructing an associated perturbation of $P(λ)$. In this paper, we extend this result to the case of two given distinct complex numbers $μ_{1}$ and $μ_{2}$. First, we compute a lower bound for the spectral norm distance from $P(λ)$ to the set of matrix polynomials that have $μ_1,μ_2$ as two eigenvalues. Then we construct an associated perturbation of $P(λ)$, such that the perturbed matrix polynomial has two given scalars $μ_1$ and $μ_2$ in its spectrum. Finally, we derive an upper bound for the distance by the constructed perturbation of $P(λ)$. Numerical examples are provided to illustrate the validity of the method.

研究の動機と目的

• 行列多項式の距離に関する先行研究を、2つの異なる複素固有値への一般化すること。
• 2つの所定の固有値を持つ行列多項式の集合へのスペクトルノルム距離の計算可能な下界と上界を求める。
• 目標固有値を達成しつつ、導出された距離境界内に留まるように、行列多項式の明示的摂動を構成すること。
• 境界の鋭さと摂動の正しさを示す数値例を通じて、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 行列多項式 $ P(\lambda) $ から、2つの所定の異なる固有値 $ \mu_1, \mu_2 \in \mathbb{C} $ を持つ $ n\times n $ 行列多項式の集合 $ \mathcal{P}_{\mu_1,\mu_2} $ へのスペクトルノルム距離を導入する。
• パラメータ $ \gamma $ でパラメータライズされた構造的行列 $ F[P(\mu_1,\mu_2); \gamma] $ の特異値解析を用いて、距離の下界を導出する。
• 摂動多項式 $ Q(\lambda) = P(\lambda) + \Delta(\lambda) $ が $ \mu_1 $ と $ \mu_2 $ を固有値に持つように、関連する摂動 $ \Delta(\lambda) $ を構成する。
• MATLAB の fminsearch を用いた最適化により、特異値関数 $ s_k(F[P(\mu_1,\mu_2); \gamma]) $ を最小化する $ \gamma_* $ を特定し、鋭い境界計算を可能にする。
• 非負の重み $ w_j $ を用いた重み付き摂動集合 $ \mathcal{B}(P, \varepsilon, w) $ を導入し、係数ごとの摂動のノルムを制御する。
• 境界の鋭さと正しさを検証するため、摂動集合の境界上に位置し、所望の固有値を達成する明示的摂動 $ \Delta_{\gamma_*}(\lambda) $ を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた行列多項式から、2つの所定の異なる固有値を持つ多項式の集合へのスペクトルノルム距離は何か？
• RQ2 特異値解析と最適化を用いて、この距離のきわめて鋭い下界と上界をどのように効率的に計算できるか？
• RQ3 摂動された多項式が目標固有値を持ち、計算された距離境界内に留まるような行列多項式の明示的摂動を構成できるか？
• RQ4 最適化パラメータ $ \gamma_* $ が 0 である場合と正である場合、境界はどのように変化するか？
• RQ5 計算された境界はどの程度最適であり、どのような条件下で最適境界が得られるか？

主な発見

• 係数が乱数で生成された $ 2\times 2 $ 行列多項式に対して、下界は $ \beta_{\text{low}} = 0.0376 $、上界は $ \beta_{\text{up}} = 0.2847 $ であり、$ \gamma_* = 1.8914 $ であった。これにより、真の距離が境界で包み込まれていることが確認された。
• 構築された摂動 $ \Delta_{1.8914}(\lambda) $ は、$ \mu_1 = 1 $ および $ \mu_2 = 2+i $ を固有値に持つ行列多項式 $ Q_{1.8914}(\lambda) $ を正しく生成し、摂動集合の境界上に位置していた。
• $ \gamma_* = 0 $ の場合、ノルム $ \|\Delta_0\| \approx 4.1545 $ の摂動 $ \Delta_0 $ が得られ、摂動多項式の固有値は $ \mu_1 = 5 $、$ \mu_2 = -1 $ となり、手法のロバストネスが裏付けられた。
• 特異値 $ s_3(F[P(1,2+i); \gamma_*]) = 4.1132 $ が $ \gamma_* = 1.8914 $ で最小化され、境界計算に最適なパラメータ選択がなされたことが示された。
• 補題 2.5 と推論 2.6 の検証では、残差ノルムがそれぞれ $ 1.5612 \times 10^{-5} $ と $ 2.9886 \times 10^{-5} $ であった。理論的一致性が確認された。
• 境界は必ずしも最適ではないが、真の距離 $ \mathcal{D}(P,\mu_1,\mu_2) $ は $ [\beta_{\text{low}}, \beta_{\text{up}}] $ の間に保証され、$ \gamma_* $ が最適化されるに従い区間が狭まる。