[論文レビュー] On the Distortion of Voting with Multiple Representative Candidates

Yu Cheng, Shaddin Dughmi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Game Theory and Voting Systems参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、候補者が度合い空間における有権者集団からi.i.d.に抽出される場合の位置投票ルールの歪みを分析する。タイトな特徴付けを提供する：非定数の極限スコアリングルールを持つ投票制度は定数の期待歪みを持つが、定数（非1）の極限を持つものは超定数の歪みを示し、n>2の代表的候補に関する未解決の問題を解決する。

ABSTRACT

We study positional voting rules when candidates and voters are embedded in a common metric space, and cardinal preferences are naturally given by distances in the metric space. In a positional voting rule, each candidate receives a score from each ballot based on the ballot's rank order; the candidate with the highest total score wins the election. The cost of a candidate is his sum of distances to all voters, and the distortion of an election is the ratio between the cost of the elected candidate and the cost of the optimum candidate. We consider the case when candidates are representative of the population, in the sense that they are drawn i.i.d. from the population of the voters, and analyze the expected distortion of positional voting rules. Our main result is a clean and tight characterization of positional voting rules that have constant expected distortion (independent of the number of candidates and the metric space). Our characterization result immediately implies constant expected distortion for Borda Count and elections in which each voter approves a constant fraction of all candidates. On the other hand, we obtain super-constant expected distortion for Plurality, Veto, and approving a constant number of candidates. These results contrast with previous results on voting with metric preferences: When the candidates are chosen adversarially, all of the preceding voting rules have distortion linear in the number of candidates or voters. Thus, the model of representative candidates allows us to distinguish voting rules which seem equally bad in the worst case.

研究の動機と目的

• 候補者が有権者分布からi.i.d.に抽出される場合の位置投票ルールの期待歪みを分析すること。
• n ≥ 3の代表的候補における歪みの上限に関する未解決問題を解くこと。
• 最悪ケース設定では悪くても、代表的候補仮定下では良好に機能する投票ルールを区別すること。
• どの位置投票ルールが度合い空間や候補者数にかかわらず常に定数の期待歪みを達成するかを特徴付けること。

提案手法

• n→∞の際に候補者の位置とスコアを正規化することで、[0,1] 上に定義された極限スコアリングルールgを用いる。
• gが(0,1)上で非定数の場合は定数歪み、定数g≠1の場合は超定数歪みであることを分析する。
• 有限nにおけるスコアリングルールg_nとその極限gとの間の一貫性条件を適用し、歪みを束縛する。
• 確率論的および度合い空間の議論を用いて、当選候補のコストが最適なものの相対的コストを束縛する。
• 分位数に基づく候補者グループ化とスコア比較を用いて歪みの上限を導出する。
• 特定のシステム（ボーダー方式やk-承認）を分析するための証明技法を適応し、タイトな上限を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 候補者が有権者集団からi.i.d.に抽出される場合、どの位置投票ルールが定数の期待歪みを達成するか？
• RQ2 スコアリングルールgの極限的挙動が投票制度の歪み特性にどのように影響するか？
• RQ3 多数決方式やボイド方式は、最悪ケース設定では有界な歪みを示すが、代表的候補仮定下ではなぜ超定数の歪みを示すのか？
• RQ4 g_nがgに収束する速度は、歪みの特徴付けを精緻化するために利用可能か？
• RQ5 代表的候補下におけるボーダー方式のタイトな歪み上限は何か？

主な発見

• ボーダー方式は定数の期待歪みを示し、すべてのnに対して上界16、nが大きくなる極限では10である。
• k=Θ(n)のk-承認は定数の期待歪みを示すが、定数kのk-承認はΩ(n)の割合で歪みが増加する。
• 多数決方式とボイド方式は超定数の期待歪みを示し、nに比例して少なくとも線形に増加する。
• 極限スコアリングルールgが(0,1)上で定数であり、1でない場合、システムは超定数の歪みを示す。
• g≡1 on (0,1)の場合、g_nがgに収束する速度が歪みの増加を決定づけ、より精緻な分析が必要となる。
• 特徴付けはタイトである：(0,1)上で非定数gならば定数歪み、定数g≠1ならば超定数歪みである。