[論文レビュー] On the distribution of extreme values of zeta and $L$-functions in the strip $1/2<\sigma<1$

Youness Lamzouri|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$1/2 < \sigma < 1$ の臨界帯におけるゼータ関数およびL関数の極値の正確な分布を確立し、$\log |\zeta(\sigma + it)|$ の大きな値がランダムオイラー積によってよくモデル化されることを示している。$\tau \leq c_1(\sigma)(\log T)^{1-\sigma}/\log_2 T$ の範囲で、尾確率 $\Phi_T(\sigma, \tau)$ が $\exp\left( -A_1(\sigma) \tau^{1/(1-\sigma)} (\log \tau)^{\sigma/(1-\sigma)} \right)$ として一様に減少することを証明し、モンゴメリーの $\zeta(\sigma + it)$ の極値の順序に関する予想を支持する。

ABSTRACT

We study the distribution of large (and small) values of several families of $L$-functions on a line $ ext{Re(s)}=\sigma$ where $1/2<\sigma<1$. We consider the Riemann zeta function $\zeta(s)$ in the $t$-aspect, Dirichlet $L$-functions in the $q$-aspect, and $L$-functions attached to primitive holomorphic cusp forms of weight $2$ in the level aspect. For each family we show that the $L$-values can be very well modeled by an adequate random Euler product, uniformly in a wide range. We also prove new $\Omega$-results for quadratic Dirichlet $L$-functions (predicted to be best possible by the probabilistic model) conditionally on GRH, and other results related to large moments of $\zeta(\sigma+it)$.

研究の動機と目的

• 臨界帯 $1/2 < \sigma < 1$ における $\zeta(s)$ 及び関連する $L$-関数の極値の分布を理解すること。
• 単位円上に一様に分布する確率変数 $X(p)$ を用いた確率的ランダムオイラー積 $\zeta(\sigma, X) = \prod_p (1 - X(p)/p^\sigma)^{-1}$ を用いて、$\log |L(\sigma + it)|$ の分布をモデル化すること。
• $\Phi_T(\sigma, \tau) = \frac{1}{T} \operatorname{meas}\{ t \in [T,2T] : \log |\zeta(\sigma + it)| \geq \tau \}$ の尾確率に対する鋭い漸近的推定値を、広い範囲の $\tau$ に対して確立すること。
• GRHのもとで二次ディリクレL関数の新しい $\Omega$-結果を証明し、$\zeta(\sigma + it)$ の高次モーメントの振る舞いを分析すること。

提案手法

• 確率的モデルを用いる：$\sigma > 1/2$ でほとんど確実に収束する、単位円上で一様に分布する独立同分布の $X(p)$ を用いたランダムオイラー積 $\zeta(\sigma, X) = \prod_p (1 - X(p)/p^\sigma)^{-1}$。
• $A_1(\sigma)$ を修正ベッセル関数 $I_0(u)$ の関数的として定義し、$\mathbb{E}[e^{uX}] = I_0(u)$ から導出する。この関数を用いて $\log |\zeta(\sigma + it)|$ の尾の減少をモデル化する。
• モーメント比較技術を適用し、$\sum_{n \leq x} X(n)/n^\sigma$ と完全な $\zeta(\sigma, X)$ の差を、ミンコフスキーの不等式と尾の推定値を用いて評価する。
• 補題2.1による指数モーメントの上界と、$\sum dk(n)^2 n^{-2\sigma}$ の推定値を用いて、$\zeta(\sigma + it)$ の $2k$ 階モーメントの切断和による近似の誤差を制御する。
• ホルダーの不等式と $\sum dk(n)^2 n^{-2\sigma}$ の収束性を用いて、切断和とランダムモデルの完全なモーメントを関連付ける。
• $k \approx (\log T)^\sigma$ の遷移領域を分析し、この範囲を超えると部分和近似の誤差が増大するため、この方法が破綻することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $T \to \infty$ のとき、$1/2 < \sigma < 1$ における $\zeta(\sigma + it)$ の極値はどのように分布するか？
• RQ2 $\sigma \in (1/2, 1)$ の範囲で、$\log |\zeta(\sigma + it)|$ の分布はランダムオイラー積によって正確にモデル化可能か？
• RQ3 $\tau \leq c_1(\sigma)(\log T)^{1-\sigma}/\log_2 T$ の範囲で、尾確率 $\Phi_T(\sigma, \tau)$ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ4 $\Phi_T(\sigma, \tau)$ の減少率はモンゴメリーの $\Omega$-結果で予想された順序と一致するか？ そして、一様にその一致を証明できるか？
• RQ5 $\zeta(\sigma + it)$ のモーメント漸近の有効範囲は何か？ また、ランダムオイラー積の尾の成長により、この方法がどこで破綻するか？

主な発見

• $\tau \leq c_1(\sigma)(\log T)^{1-\sigma}/\log_2 T$ の範囲で、尾確率 $\Phi_T(\sigma, \tau)$ は $\exp\left( -A_1(\sigma) \tau^{1/(1-\sigma)} (\log \tau)^{\sigma/(1-\sigma)} \left(1 + O\left( \frac{1}{\sqrt{\log \tau}} + r(\log T, \tau) \right) \right) \right)$ として一様に減少する。ここで $A_1(\sigma)$ は修正ベッセル関数 $I_0(u)$ から導出される。
• 同様の漸近的挙動は $\log |\zeta(\sigma + it)|$ の左尾および $\arg \zeta(\sigma + it)$ の分布に対しても成り立ち、極値挙動における対称性を示している。
• この方法により、ランダムオイラー積モデルが臨界帯における $\zeta(\sigma + it)$ の分布を正確に捉えていることが確認され、モンゴメリーの予想の背後にある確率的直観を支持する。
• $\zeta(\sigma + it)$ の $2k$ 階モーメントに関して、$\mathbb{E}[|\zeta(\sigma + it)|^{2k}] \sim \sum_{n=1}^\infty d_k(n)^2 n^{-2\sigma}$ が $k \leq c((2\sigma - 1)\log T)^\sigma$ の範囲で一様に成り立ち、誤差は $\ll \exp\left( -\frac{\log T}{10k \log_2 T} \right)$ である。
• この方法は $k \geq C(\log T \log_2 T)^\sigma$ の範囲で失敗する。このとき、切断和が完全なモーメントを適切に近似できなくなるのは、尾の寄与が増大するためである。
• GRHのもとで、二次ディリクレL関数の新しい $\Omega$-結果が条件付きで証明され、確率的モデルの予測と一致しており、その境界の最適性を示唆している。