[論文レビュー] On the distribution of powers of real numbers modulo 1

Simon Baker|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、実数のべき乗が1を法としてどのように分布するかを調査し、発散するギャップをもつ厳密に増加する列 $(q_n)$ に対して、列 $(\alpha^{q_n})$ の分布に注目する。BugeaudとMoshchevitinの手法に基づくカントール集合の構成を用いて、任意のこのような列 $(q_n)$ と任意のターゲット列 $(r_n)$ に対して、$\|\alpha^{q_n} - r_n\| \to 0$ を満たす $\alpha > 1$ の集合が $(1,\infty)$ で稠密であり、ハウスドルフ次元1をもつことを証明する。これは、非一様分布を示す豊かな構造を有することを示している。

ABSTRACT

Given a strictly increasing sequence of positive real numbers tending to infinity $(q_{n})_{n=1}^{\infty}$, and an arbitrary sequence of real numbers $(r_{n})_{n=1}^{\infty}.$ We study the set of $α\in(1,\infty)$ for which $\lim_{n o\infty}\|α^{q_{n}}-r_{n}\|= 0$. In \cite{Dub} Dubickas showed that whenever $\lim_{n o\infty}(q_{n+1}-q_{n})=\infty,$ there always exists a transcendental $α$ for which $\lim_{n o\infty}\|α^{q_{n}}-r_{n}\|= 0.$ Adapting the approach of Bugeaud and Moshchevitin \cite{BugMos}, we improve upon this result and show that whenever $\lim_{n o\infty}(q_{n+1}-q_{n})=\infty,$ the set of $α\in(1,\infty)$ satisfying $\lim_{n o\infty}\|α^{q_{n}}-r_{n}\|= 0$ is a dense set of Hausdorff dimension $1$.

研究の動機と目的

• 発散するギャップを持つ列 $q_n$ に対して、$\|\alpha^{q_n} - r_n\| \to 0$ を満たす実数 $\alpha > 1$ の集合の大きさと構造を特定すること。
• Dubickasの結果（$\|\alpha^{q_n}\| \to 0$ を満たす超越的 $\alpha$ の存在）を拡張し、解集合が非空であるばかりでなく、位相的およびフラクタル的意味で「大きく」あることを示すこと。
• $E(q_n, r_n)$ が $(1,\infty)$ で稠密であり、ハウスドルフ次元1をもつことを確立すること。これは、区間内での最大のサイズを示している。

提案手法

• 任意の $\lambda > 1$、$\delta > 0$ に対して、$[\lambda, \lambda + \delta]$ に含まれるカントール集合 $ E \subset [\lambda, \lambda + \delta] $ を、入れ子になったコンパクトな区間を用いて構成し、$\|\alpha^{q_n} - r_n\|$ の収束を保証する。
• 各 $E_{n-1}$ の区間が、$E_n$ に少なくとも $m_n = \lceil \lambda^{\eta(q_{n+1}-q_n)} \rceil$ 個の部分区間を含むように、入れ子になった集合 $E_n$ を定義し、十分な分岐を確保する。
• 各 $E_n$ の区間間に正のギャップ $ \gamma_n \geq c / (q_n (\lambda + \delta)^{q_n - 1}) $ が存在することを確立し、分離を制御し、次元推定に役立てる。
• 文献[4]の補題2.1を適用し、$m_1 \cdots m_n$ の対数的成長と $ \log(1/\gamma_n) $ の比を用いて、ハウスドルフ次元の下界を評価する。
• 元の列 $(q_n)$ を $(\tilde{q}_n)$ に摂動することで、構成における必要な分離と区間の成長を保証する。
• $\eta \to 1$ および $\epsilon \to 0$ の極限をとることで、$[\lambda, \lambda + \delta] \cap E(q_n, r_n)$ の次元が正確に1であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 列 $q_n$ が発散するギャップを持つ場合、$\|\alpha^{q_n} - r_n\| \to 0$ を満たす $\alpha > 1$ の集合のハウスドルフ次元が正であるか？
• RQ2 $\{\alpha^{q_n}\}$ が1を法としてほとんどの $\alpha$ で一様分布を示すにもかかわらず、そのような解集合が $(1,\infty)$ で稠密になり得るか？
• RQ3 $r_n$ が定数であろうと変化しようとも、解集合が非可算であり、フラクタル的意味で「大きく」なるか？
• RQ4 このような $\alpha$ に対して、$\|\alpha^{q_n} - r_n\| \to 0$ の最適な収束速度は何か？ そして、ギャップ列によって制御可能か？
• RQ5 $q_{n+1}/q_n \to 1$ を満たす列、例えば $q_n = n^2$ のような列に対しても、この構成を適応可能か？ そして、高速な収束率を達成できるか？

主な発見

• 発散するギャップ $\lim_{n\to\infty}(q_{n+1} - q_n) = \infty$ をもつ列 $q_n$ に対して、$\|\alpha^{q_n} - r_n\| \to 0$ を満たす $\alpha > 1$ の集合 $E(q_n, r_n)$ は $(1,\infty)$ で稠密である。
• $\lambda > 1$、$\delta > 0$ に対して、$E(q_n, r_n) \cap [\lambda, \lambda + \delta]$ のハウスドルフ次元は正確に1であり、これはすべての部分区間でフル次元性を示している。
• 任意の $k \in \mathbb{N}$ に対して、$\|\alpha^{n^2} - r_n\| = O(n^{-k})$ を満たす $\alpha > 1$ の稠密な集合が存在する。これは、多項式列に対して任意に高速な収束が達成可能であることを示している。
• $r_n$ が定数であっても、例えば $\lim_{n\to\infty} \{\alpha^{q_n}\} = \kappa \in (0,1)$ であっても、構成によりフルハウスドルフ次元の集合が得られる。これは、大きな集合において非一様分布が生じることを示している。
• 証明により、$\dim_H(E(q_n, r_n)) = 1$ が、$(1,\infty)$ のすべての区間 $[\lambda, \lambda + \delta]$ に一様に成り立つことが保証され、グローバルなフル次元性が確認される。
• $\|\alpha^{q_n} - r_n\| \to 0$ の収束速度はギャップ列によって制御可能である。$\epsilon_n$ の減少が遅ければ、次元がフルである解集合がより大きく得られる。