[論文レビュー] On the Distribution of the Product and the Sum of Generalized Shifted Gamma Random Variables

Pushpa N. Rathie, Arjun K. Rathie+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2013

Fuzzy Systems and Optimization被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、メリン変換におけるガンマ関数をH関数そのもので置き換えることでH関数を一般化する新しい特殊関数、$̂{I}$関数を導入する。$̂{I}$関数により、従来の標準的特殊関数では取り扱えなかった一般化されたシフト付きガンマ分布に従う確率変数の和および積の確率密度関数を閉形式で表現可能となり、統計的モデリングおよび確率過程の解析的ツールが拡張される。

ABSTRACT

In general, while obtaining the probability density function of sums and products of shifted random variables, ordinary analytical methods such as Fourier and Mellin transforms tend to provide integrals which cannot be expressed in terms of ordinary Meijer G and H functions. This way, the need of defining new functions which easily enable one to write such integrals in a closed-form is inherent to the development of this area of statistical sciences. By generalizing the Mellin transform which defines the H function, a new function is established. A direct application of the so-called $\\widehat{I}$ is discussed while developing the probability density function of the sum and the product of shifted generalized gamma random variables. Important special cases of the $\\widehat{I}$ and their applications in science are also discussed in order to show the applicability of the function hereby defined.

研究の動機と目的

• 標準的特殊関数を用いた場合に、シフト付き一般化ガンマ確率変数の和および積の分布に対して閉形式解が得られないという問題を解決すること。
• フーリエ変換およびメリン変換の限界を克服し、古典的Meijer G関数およびH関数の観点からこのような分布を表現すること。
• シフト付き確率変数に由来する複雑な積分を表現可能な、新たな特殊関数のクラスの構築。
• $̂{I}$関数を用いて、シフト付き一般化ガンマ変数の和および積の正確な確率密度関数を導出する実用的有効性の提示。
• $̂{I}$関数と既知の特殊関数（H関数、I関数、Y関数、一般化された上側不完全Fox H関数）との関係を確立し、その一般性および応用可能性を検証すること。

提案手法

• $̂{I}$関数を、メリン変換の被積分関数にガンマ関数の代わりにH関数を含む線形積分として定義する。
• $̂{I}$関数のメリン変換を、複素変数$s$のべき関数を乗じたH関数の積として構築する。
• メリン逆変換定理を用いて、複素平面上の線形積分として$̂{I}$関数を表現する。
• メリン変換技術を用いて、$̂{I}$関数を応用し、一般化されたシフト付きガンマ確率変数の和および積の確率密度関数を導出する。
• パラメータの特殊化により、H関数、I関数、Y関数、一般化された上側不完全Fox H関数がすべて$̂{I}$関数の特別な場合として現れることを示し、$̂{I}$関数の一般化を実証する。
• さらに、より広範なパrameter化とモデル化の柔軟性を可能にするために、$̂{̂{I}}$関数というさらなる一般化を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 和および積の確率密度関数を閉形式で表現できる新たな特殊関数を定義することは可能か？
• RQ2 $̂{I}$関数は、H関数、I関数、Y関数、一般化された上側不完全Fox H関数といった既存の特殊関数をどのように一般化するか？
• RQ3 シフト付き確率変数を扱う場合に、標準的Meijer G関数およびH関数と比較して、$̂{I}$関数が示す解析的および計算上の利点は何か？
• RQ4 無線通信などの実用的文脈において、$̂{I}$関数は既存の関数よりもより正確または取り扱いやすいモデルを提供できるか？
• RQ5 $̂{I}$関数は、さらに広範な確率的モデルのクラスに適合できるように一般化可能か？

主な発見

• $̂{I}$関数は、一般化されたシフト付きガンマ確率変数の和および積の確率密度関数に対して、閉形式での表現を成功裏に実現した。
• $̂{I}$関数は、そのメリン変換におけるガンマ関数の代わりにH関数を用いることでH関数を一般化し、階層的な特殊関数のクラスを形成する。
• パラメータの特殊化により、H関数、I関数、Y関数、一般化された上側不完全Fox H関数がすべて$̂{I}$関数の特別な場合として示された。
• $̂{I}$関数により、従来の古典的Meijer G関数やH関数では表現できなかった、和および積の分布に対する正確な式が導出可能となった。
• 本関数は、マルチキャリアレーザーフェージングチャネルにおけるアウトージ容量の解析において、既存の不完全Fox H関数に基づく先行研究を一般化する応用例として実用的であることが示された。
• さらに、より柔軟なパrameter化と広範な応用性を可能にするために、$̂{̂{I}}$関数というさらなる一般化が提案された。