[論文レビュー] On the distribution of zeros of the Hermite-Pade polynomials for three algebraic functions $1,f,f^2$ and the global topology of the Stokes lines for some differential equations of the third order

Sergey Pavlovich Suetin|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2013

Mathematical functions and polynomials参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$f(z) = \prod_{j=1}^3 (z - a_j)^{\alpha_j}$, $\sum \alpha_j = 0$ を満たす三重分岐代数関数 $f$ についての $1, f, f^2$ のヘルメート・パデ多項式の零点分布と、大パラメータを含む3階線形微分方程式におけるストークス線のグローバルトポロジーとの間の関係を確立する。一般化されたゴンチャール＝ラフマノフ法と $S$-対称板を有するコンデンサーの極値問題を用いて、零点分布が、5点（分岐点 $a_1,a_2,a_3$ と、チェボタレフ点 $v_1$、$v_1$ とは異なる $v_2 \neq v_1$）で交差する極値コンデンサーの板上での平衡測度に収束することを示す。収束は容量収束であり、微分可能性を保ちながら成立する。この方法により、ストークス線が二次微分形式の臨界軌道と関連づけられ、3枚のリーマン面にわたるリウヴィル＝グリーン近似を用いて強い漸近展開が得られる。

ABSTRACT

The paper presents some heuristic results about the distribution of zeros of Hermite-Pade polynomials of first kind for the case of three functions $1,f,f^2$, where $f$ has the form $f(z): = \prod\limits_ {j = 1 } ^3 (z-a_j) ^ {α_j} $, $α_j \in \mathbb C\setminus \mathbb Z $, $ \sum \limits_ {j = 1 } ^ 3 α_j = 0 $, $ f (\infty) = 1 $. Answers are given in terms related to the problem of extreme minimum capacity of a plane Nuttall condenser, two plates of which intersect ("hooked" for each other) in a five points: the branch points $ a_1, a_2, a_3 $ of function $ f $, at $ v_1 = v $, where $ v = v (a_1, a_2, a_3) $ the Chebotarev point corresponding to triple points $ a_1, a_2, a_3 $, and another "unknown" at $ v_2 eq v_1, a_1, a_2, a_3 $ (see Fig1-Fig3). The connection between the distribution of zeros of Hermite-Pade polynomials and global topology of the Stokes lines and the asymptotic behavior of Liouville-Green solutions of a class of homogeneous linear differential equations of the third order containing a large parameter is the free term is established. The basic idea of the new and still heuristic approach is to reduce at first some theoretical potential vector equilibrium problem to the scalar problem with the external field, and then use the general method of Gonchar-Rakhmanov developed in 1987 for solving the Varga problem "about $ 1/9 $". It is supposed that in the general case of an arbitrary algebraic function $ f $ it is imposible to constract the Nuttall condenser for a set of three functions $ 1, f, f ^ 2 $ without the knowledge of the structure of the Stahl compact for function $ f $. Namely, the Nuttall condenser is constructed using Green's function $ g_ {D} (z, \infty) $ for the Stahl domain $ D $ and "core" of Stahl compact, which consists of "effective" branch points of $ f $ and corresponding Chebotarev points.

研究の動機と目的

• 三重分岐代数関数 $f$ に対して、$1, f, f^2$ のヘルメート・パデ多項式の漸近的零点分布を調査すること。
• この零点分布が、自由項に大パラメータを含むクラスの3階線形微分方程式におけるストークス線のグローバルトポロジーとどのように関連するかを明らかにすること。
• 極値コンデンサー上の平衡測度と多項式の極限零点分布との間の対応関係を確立すること。
• 3枚のリーマン面にわたるリウヴィル＝グリーン近似を用いて、ヘリュート・パデ多項式および剰余関数の強い漸近展開を導く手法を構築すること。
• 零点分布の収束が微分作用素に対して安定であることを示し、強い漸近的性質を示唆すること。

提案手法

• ベクトルポテンシャルの平衡問題を、外部場を伴うスカラー問題に還元する。これは、'1/9問題'の解法に用いられたゴンチャール＝ラフマノフの手法を応用する。
• 極値コンデンサーは、スタール領域のグリーン関数と、スタールコンパクトの'コア'（有効な分岐点とチェボタレフ点 $v_1$ を含む）を用いて構成される。
• 極値コンデンサーの板 $E$ と $F$ は、二次微分形式 $\mathfrak{Q}(z)\,dz^2$ の臨界軌道の閉包から成り、以前の研究と同様に $S$-性質を有する。
• 極限零点分布は、極値コンデンサーの板 $F$ 上の平衡測度 $\lambda_F$ として特定される。
• 微分方程式の特性方程式から、3枚のリーマン面 $\mathfrak{R}_3$ を構成し、純虚周期を有する第3種アーベル積分 $\varphi(\mathbf{z})$ を定義する。
• 異なるシート上で3つの漸近的に独立なリウヴィル＝グリーン近似 $\widetilde{w}_{n,1}, \widetilde{w}_{n,2}, \widetilde{w}_{n,3}$ を構築し、それらの線形結合が微分方程式の任意の解を近似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素指数の和が0である三重分岐代数関数 $f$ に対して、$1, f, f^2$ のヘルメート・パデ多項式の零点はどのように分布するか？
• RQ2 大パラメータを含む3階線形微分方程式におけるストークス線のトポロジーと、関数 $f$ の極値コンデンサーの構造との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 ヘリュート・パデ多項式の極限零点分布は、二次微分形式から導かれる特定のコンパクト集合上の平衡測度として特徴づけられるか？
• RQ4 コンデンサーの板の $S$-性質は、二次微分形式の臨界軌道およびストークス線のグローバル構造とどのように関連するか？
• RQ5 零点分布の容量収束が微分可能性を保つメカニズムは何か？ そして、この性質が強い漸近公式の導出をどのように可能にするか？

主な発見

• ヘリュート・パデ多項式の零点分布は、$S$-性質を有する極値コンデンサーの板 $F$ 上の平衡測度 $\lambda_F$ に収束する。この極値コンデンサーは、二次微分形式の臨界軌道の閉包から成り、5点（$f$ の3つの分岐点 $a_1, a_2, a_3$、チェボタレフ点 $v_1$、および $v_1$ とは異なる $v_2 \neq v_1, a_1, a_2, a_3$）で交差する。
• 3階微分方程式のストークス線は、極値コンデンサーの板 $E \cup F$ を形成する解析的弧に一致し、進行経路は特性方程式の3枚のリーマン面における共役軌道である。
• 零点分布の収束は容量収束であり、微分作用素に対して安定であるため、強い漸近的性質が示唆される。
• 3枚のリーマン面の各シート上で、3つの漸近的に独立なリウヴィル＝グリーン近似 $\widetilde{w}_{n,1}, \widetilde{w}_{n,2}, \widetilde{w}_{n,3}$ が構築され、それらの線形結合により微分方程式の任意の解の漸近的近似が得られる。
• 本手法により、ストークス線のグローバル構造と純虚周期を有するアーベル積分に基づいて、ヘリュート・パデ多項式および剰余関数の明示的な強い漸近公式が得られる。