[論文レビュー] On the Distributions of the Lengths of the Longest Increasing and Decreasing Subsequences in Random Words

Craig A. Tracy, Harold Widom|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 1999

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、k文字のアルファベット上で長さNのランダムな語における、最も長い弱く非減少および強く減少する部分列の長さの指数型母関数について、トーペリッツ行列式の表現を導出する。これらの分布がパレブレ V超越関数に従うことを確立し、弱く非減少の場合にはラゲルル乱雑行列アンサンブルにおける最小固有値と関連づけられ、N → ∞ の極限において、Gaussian Unitary Ensemble (GUE) における最大固有値の分布と等価であることが示される。

ABSTRACT

We consider the distributions of the lengths of the longest weakly increasing and strongly decreasing subsequences in words of length N from an alphabet of k letters. (In the limit as k → ∞ these become the corresponding distributions for permutations on N letters.) We find Toeplitz determinant representations for the exponential generating functions (on N) of these distribution functions and show that they are expressible in terms of solutions of Painlevé V equations. We show further that in the weakly increasing case the generating function gives the distribution of the smallest eigenvalue in the k × k Laguerre random matrix ensemble and that the distribution itself has, after centering and normalizing, an N → ∞ limit which is equal to the distribution function for the largest eigenvalue in the k × k Gaussian Unitary Ensemble. I.

研究の動機と目的

• 長さNのk文字のアルファベット上で生成されるランダムな語における、最も長い弱く非減少および強く減少する部分列の分布を分析すること。
• これらの分布関数の指数型母関数を、トーペリッツ行列式を用いて導出すること。
• 最も長い弱く非減少部分列の分布を、k × k のラゲルル乱雑行列アンサンブルにおける最小固有値と関連づけること。
• 適切な中心化および正規化を行った後、N → ∞ の極限において、その分布がk × k のGaussian Unitary Ensemble (GUE) における最大固有値の分布と一致することを示すこと。

提案手法

• トーペリッツ行列式の公式を用いて、最も長い弱く非減少および強く減少する部分列の分布の指数型母関数を導出する。
• 可積分系理論を用いて、これらの母関数をパレブレ V 微分方程式の解を用いて表現する。
• 最も長い増加部分列の分布とラゲルル乱雑行列アンサンブルにおける最小固有値の分布との間の対応関係を確立する。
• 漸近解析を適用し、正規化された分布がN → ∞ の極限において、GUEアンサンブルに関連するトレーシー＝ウィドム分布に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな語における最も長い増加および減少部分列の分布は、語の長さNおよびアルファベットのサイズkの関数として、どのように振る舞うか？
• RQ2 これらの分布の指数型母関数は、トーペリッツ行列式を用いて表現可能か？
• RQ3 ランダムな語における最も長い増加部分列と、乱雑行列アンサンブルにおける固有値分布との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 N → ∞ の極限における最も長い増加部分列の分布は何か？ そして、既知のトレーシー＝ウィドゥム則とどのように関係するか？

主な発見

• 最も長い弱く非減少部分列の長さの指数型母関数は、トーペリッツ行列式として表現される。
• この母関数は、パレブレ V 微分方程式の解を用いて表現可能であることが示された。
• 最も長い弱く非減少部分列の分布は、k × k のラゲルル乱雑行列アンサンブルにおける最小固有値の分布に対応する。
• 中心化および正規化を行った後、N → ∞ の極限における最も長い増加部分列の分布は、k × k のGaussian Unitary Ensemble (GUE) における最大固有値の分布と一致する。