[論文レビュー] On the divisibility of odd perfect numbers, quasiperfect numbers and amicable numbers by a high power of a prime

Tomohiro Yamada|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、奇数完全数、準完全数、相反性を有する相愛数対の最小素因数に対する明示的な上界を、その素因数分解における指数に制約を課したもとで確立する。特に、大スクリーブおよびセルバーグのスクリーブを用いた高度なスクリーブ法により、このような数が、指数の除数に含まれる素数の集合に依存する計算可能な定数未満の素因数を持つ必要があることを証明する。

ABSTRACT

We shall give an explicit upper bound for the smallest prime factor of multiperfect numbers of the form $N=p_1^{α_1}\cdots p_s^{α_s} q_1^{β_1}\cdots q_t^{β_t}$ with $β_1, \ldots, β_t$ bounded by a given constant. We shall also give similar results for quasiperfect numbers and relatively prime amicable pairs of opposite parity.

研究の動機と目的

• 奇数完全数、準完全数、相反性を有する相愛数対の最小素因数に対する有効な上界を確立すること。
• 指数の有界性に関する先行結果を拡張し、スクリーブ理論的技法を用いて明示的かつ計算可能な上界を提供すること。
• 指数の制約のもとで、このような数が小さい素因数を持つ必要があることから、特殊な場合における有限性予想を解決すること。
• コーエンとマクダニエルの結果を改善し、大スクリーブ法を用いてよりきつい明示的定数を導出すること。
• 特定の指数条件のもとで、ある境界を超えてこのような数が存在する可能性はなく、それらが小さい素因数を持つ必要があることを証明すること。

提案手法

• 大スクリーブおよびセルバーグのスクリーブを用いて、多重完全数、準完全数、相愛数における素因数の分布を分析する。
• 各指数 $\beta_i$ に対して $\beta_i + 1$ が少なくとも一つの $p \in \mathcal{P}$ で割り切れるような有限素数集合 $\mathcal{P}$ を定義する。
• 複合的上界 $C_0 = C_0(d,s,n,P,\epsilon)$ を導入し、$x_1(l)$、$L(\epsilon,n)$、$\varphi(P)$ および $|\mathcal{P}|$ に関する指数関数的項を含む。
• 算術級数内の素数の個数を評価するために、パラメータ $u=2.000007$、$v=7.538$、$B=1.505$ を用いたスクリーブ不等式を用いる。
• 積 $\prod_{p \geq C_1} \frac{p}{p-1}$ の上界を導出し、それが $2^{1/|\mathcal{P}|}$ より小さいことを示し、これにより小さい素因数が存在しなければならないことを示す。
• 準完全数および相愛数の研究を、$\sigma(N)/N$ の比が 8 を法として特定の素数合同式を避けることにより、同じ枠組みに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数 $\beta_i \leq 4$ の奇数完全数の最小素因数は何か？
• RQ2 固定された有限素数集合 $\mathcal{P}$ に含まれる素数で $\beta_i + 1$ が割り切れるような指数 $\beta_i$ を持つ多重完全数に対して、その最小素因数の明示的上界は導けるか？
• RQ3 準完全数または相反性を有する相愛数が存在する条件は何か？また、それらは素因数にどのような制約を課えるか？
• RQ4 特に大スクリーブ法を用いたスクリーブ法は、このような数の最小素因数に対する既存の上界をどのように改善するか？
• RQ5 すべての $\beta_i + 1$ が共通の素因数を持つという仮定を緩和しても、依然として有効な上界が得られるか？

主な発見

• 指数 $\beta_i \leq 4$ の奇数完全数に対して、最小素因数は $\exp(4.97401 \times 10^{10})$ 未満に抑えられ、これにより先行研究が改善された。
• 任意の多重完全数 $N = p_1^{\alpha_1} \cdots p_s^{\alpha_s} q_1^{\beta_1} \cdots q_t^{\beta_t}$ に対して、$h(N) = n/d$ かつ $\beta_i + 1$ が有限集合 $\mathcal{P}$ に属する素数で割り切れる場合、$C_0$ 未満の素因数を持つことが保証される明示的定数 $C_0$ が構成された。
• 準完全数 $N$ に対して $\sigma(N) = 2N + 1$ が成り立ち、各 $2\beta_i + 1$ が有限集合 $\mathcal{P}$ に属する素数で割り切れる場合、$N$ は $C_1 = x_3^{2310|\mathcal{P}|^2}$ 未満の素因数を持つ必要がある。ここで $x_3$ は $\mathcal{P}$ および $l$ に依存する。
• 証明により、各 $l \in \mathcal{P}$ に対して $\prod_{p \geq C_1, p \in R_l} \frac{p}{p-1} < 2^{1/|\mathcal{P}|}$ が成り立つことが示され、これによりこのような数が小さい素因数を持たなければ存在できないことが示された。
• $\mathcal{P} = \{3\}$ や $\{5\}$ は奇数完全数では成立しないことが確認され、なぜならそれらは $l^4 \mid N$ を要求し、小さい素因数の上界と矛盾するからである。
• 相愛数対の相反性を有する場合、恒等式 $\sigma(m)\sigma(n) = (m+n)^2$ を用いて同じ枠組みに還元し、$\sigma(N)/N > 2$ かつ 8 を法として素因数が制限されることを示すことにより、結果を拡張した。