[論文レビュー] On the domain of attraction for the lower tail in Wicksell's corpuscle problem

Stephan Kötzer, Ilya Molchanov|ArXiv.org|Jul 4, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Wicksellのコーパスキュール問題における粒子径分布の下側尾部の吸引域を調査し、n次元空間における球の半径の尾部挙動がk次元断面によってどのように変化するかに注目している。元の分布が形状母数αを有するWeibull吸引域にある場合、断面化された分布は形状母数β = 2（α > 1のとき）またはβ = α + 1（α ≤ 1のとき）のWeibull分布に収束することを確立している。また、Gumbel吸引域も、形状母数2のWeibull吸引域に写像されることを示している。

ABSTRACT

We consider the classical Wicksell corpuscle problem with spherical particles in R^n and investigate the shapes of lower tails of distributions of `sphere radii' in R^n and `sphere radii' in a k-dimensional section plane. We show in which way the domains of attraction are related to each other.

研究の動機と目的

• 立体測定モデルにおける粒子径分布の下側尾部の漸近的挙動を理解すること。
• 元の粒子径分布の吸引域がk次元断面化によってどのように変化するかを特定すること。
• 元の分布の尾指数αと断面化された分布の尾指数βとの関係を確立すること。
• Wicksellのコーパスキュール問題の文脈において、極値理論を下側尾部へと拡張すること。

提案手法

• 極値理論と正則変動理論を用いて、断面化後の球の半径分布の下側尾部を分析する。
• Wicksellの積分方程式を適用し、R^nにおける半径分布とk次元断面平面における分布との関係を定式化する。
• 特に、原点付近における緩やかに変動する関数および正則変動関数の挙動に着目した正則変動理論を用いる。
• 漸近的解析と極限定理（例：補題2.4）を用いて、変換された分布の尾部挙動を評価する。
• 緩やかに変動する関数の一様収束定理を応用し、尾部確率のスケーリング極限を導出する。
• r=1から一般のr ≥ 1への帰納的議論を用いて、繰り返し断面化を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wicksellのコーパスキュール問題において、粒子径分布の下側尾部の吸引域は、k次元断面化によってどのように変化するか？
• RQ2 元のWeibull吸引域の形状母数αと、断面化された分布の形状母数βとの関係は何か？
• RQ3 元の分布がGumbel吸引域にある場合、断面化された系においてもWeibull吸引域に写像されるか？その場合、形状母数は何か？
• RQ4 断面化された分布の下側尾部が、Weibull吸引域にとどまるための条件は何か？
• RQ5 元の分布が正の下限値を持つ場合と無限大に広がるサポートを持つ場合とで、尾部挙動はどのように変化するか？

主な発見

• 元の分布Fが形状母数α > 1のWeibull吸引域にある場合、断面化された分布F^(1)は形状母数β = 2のWeibull吸引域にある。
• 元の分布Fが形状母数α ≤ 1のWeibull吸引域にある場合、断面化された分布F^(1)は形状母数β = α + 1のWeibull吸引域にある。
• 元の分布FがGumbel吸引域にある場合、断面化された分布F^(1)は形状母数β = 2のWeibull吸引域にある。
• r ≥ 2の場合、元の分布FがWeibull吸引域にある限り、r次元断面化によって得られる分布も形状母数β = 2のWeibull吸引域に属する。
• 元の分布が正の下限値を持つか否かにかかわらず、結果は同様に成り立ち、尾部挙動は同一の漸近的スケーリングに支配される。