[論文レビュー] On the Duality of Erasures and Defects

Yongjune Kim, B. V. K. Vijaya Kumar|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2014

Error Correcting Code Techniques参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、生成行列と受信ベクトルによって定義される連立一次方程式の可解性を分析することにより、線形符号理論における消去エラーと欠陥の間に双対性を確立する。解が存在するための必要十分条件は、拡大行列のランクが生成行列部分のランクと等しいことである。主な結果として、ランクがフルの場合、誤りなし（M=0）の確率はゼロであり、ランクが不足している場合、可解性は受信ベクトルの最後のj個要素の構造に依存する。

ABSTRACT

In this paper, the duality of erasures and defects will be investigated by comparing the binary erasure channel (BEC) and the binary defect channel (BDC). The duality holds for channel capacities, capacity achieving schemes, minimum distances, and upper bounds on the probability of failure to retrieve the original message. Also, the binary defect and erasure channel (BDEC) will be introduced by combining the properties of the BEC and the BDC. It will be shown that the capacity of the BDEC can be achieved by the coding scheme that combines the encoding for the defects and the decoding for the erasures. This coding scheme for the BDEC has two separate redundancy parts for correcting erasures and masking defects. Thus, we will investigate the problem of redundancy allocation between these two parts.

研究の動機と目的

• 線形符号における誤りパターンが一意に復号可能となる数学的条件を調査すること。
• 行列のランク解析を用いて、符号システムにおける消去エラーと欠陥の間の形式的双対性を確立すること。
• 生成行列と受信ベクトルから導かれる部分行列のランクに基づいて、復号方程式の可解性を特定すること。
• システム行列のランク条件に応じて、成功した復号の確率（M=0）を定量化すること。

提案手法

• 生成行列 G₀ᵁ と受信ベクトル bᵁ によって定義される一次方程式系の可解性を分析する。
• 少なくとも1つの解が存在するための必要十分条件として、ランク条件 rank(G₀ᵁ) = rank(G₀ᵁ | bᵁ) を用いる。
• 行簡約階段形を用いて、rank(G₀ᵁ) < u の場合に G₀ᵁ にゼロ行が生じることを特定する。
• G₀ᵁ のランクが j 減少する場合に、bᵁ の最後の j 個の要素が系の可解性に与える影響を検討する。
• rank(G₀ᵁ) に応じて P(M=0 | |U|=u) を導出し、rank(G₀ᵁ) = u の場合にこれがゼロであることを示す。
• rank(G₀ᵁ) = u−j (1 ≤ j ≤ u) の場合を検討し、可解性および誤り訂正への影響を調査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成行列と受信ベクトルによって定義される方程式系に少なくとも1つの解が存在する条件は何か？
• RQ2 生成行列部分 G₀ᵁ のランクは、復号問題の可解性とどのように関係するか？
• RQ3 G₀ᵁ のランク不足と受信ベクトル bᵁ の構造との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 |U|=u のとき、M=0 の確率は G₀ᵁ のランクにどのように依存するか？
• RQ5 rank(G₀ᵁ) = u−j の場合、bᵁ の最後のj個要素が方程式系の可解性をどのように決定するか？

主な発見

• 方程式系に解が存在するための必要十分条件は、拡大行列 (G₀ᵁ | bᵁ) のランクが G₀ᵁ のランクと等しいことである。
• rank(G₀ᵁ) = u の場合、少なくとも1つの解が保証され、P(M=0 | |U|=u) = 0 となる。
• rank(G₀ᵁ) = u−j (1 ≤ j ≤ u) の場合、G₀ᵁ の行簡約階段形の最後のj行はゼロベクトルである。
• ランクが不足している場合、方程式系の可解性は bᵁ の最後のj個要素に強く依存する。
• 生成行列部分がフルランク u である場合、誤りなし（M=0）の確率はゼロである。