[論文レビュー] On the dynamics of certain homoclinic tangles

Qiudong Wang, Ali Oksasoglu|ArXiv.org|Feb 28, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非共振で散逸的サドル点を持つ周期的摂動を受ける2階常微分方程式において、安定多様体と不安定多様体の横断的交差によって形成されるホモクリニック・タングルの力学的構造を研究する。拡張された位相空間におけるリターン写像を用いて、無限に巻きつけられたホースシュー写像の存在を証明し、μ=0に集積する無限個のパラメータ区間において、タングルが単一の無限記号ホースシューで構成されることを示している。一方、中間的なパラメータでは吸引的周期軌道と非退化な横断的ホモクリニックねじれが生じ、正の測度のパラメータ集合に対してSRB測度を有するスレート的吸引子が存在することを示している。

ABSTRACT

In this paper we study homoclinic tangles formed by transversal intersections of the stable and the unstable manifold of a {\it non-resonant, dissipative} homoclinic saddle point in periodically perturbed second order equations. We prove that the dynamics of these homoclinic tangles are that of {\it infinitely wrapped horseshoe maps}. Using $μ$ as a parameter representing the magnitude of the perturbations, we prove that (a) there exist infinitely many disjoint open intervals of $μ$, accumulating at $μ= 0$, such that the entire homoclinic tangle of the perturbed equation consists of one single horseshoe of infinitely many symbols, (b) there are parameters in between each of these parameter intervals, such that the homoclinic tangle contains attracting periodic solutions, and (c) there are also parameters in between where the homoclinic tangles admit non-degenerate transversal homoclinic tangency of certain dissipative hyperbolic periodic solutions. In particular, (c) implies the existence of strange attractors with SRB measures for a positive measure set of parameters.

研究の動機と目的

• 周期的摂動を受ける2階常微分方程式における、安定多様体と不安定多様体の横断的交差から生じるホモクリニック・タングルの力学的構造を分析すること。
• 摂動パラメータμ→0の過程で力学がどのように変化するかを、特にリターン写像の幾何学的・位相的構造に注目して理解すること。
• ホモクリニック・タングルが無限に巻きつけられたホースシュー力学を支持する条件を確立すること。
• 非退化な横断的ホモクリニックねじれをタングル内で同定することで、正の測度のパラメータ集合に対してSRB測度を有するスレート的吸引子の存在を証明すること。

提案手法

• 研究は、位相空間(x, y, θ)における周期的摂動方程式から誘導されるリターン写像を用いる。ここでθは円周S¹上の時間を表す。
• リターン写像Fμは、アニュラスA = S¹ × I上に定義され、垂直ストリップVとUを含み、垂直方向に圧縮され、水平方向に引き伸ばれ、写像の像がアニュラスを無限に巻き付けるように構成される。
• 動的構造は、不変集合ΩμとΛμを通じて分析され、Λμはホモクリニック・タングル内での最大不変集合を表し、無限記号ホースシューを含む。
• Fμ(V)の折りたたみ部分をμ→0の下で追跡し、log μにおける一定速度でθ=+∞方向に水平移動することが示され、VとUの繰り返し交差が生じる。
• 陰関数定理とGronwall型推定式を用いて、ベクトル場e_nのC¹-滑らか積分曲線γnを構成し、n→∞の下で安定多様体γ∞に収束することを保証する。
• パラメータaに関する安定多様体の依存性は、導関数∂aθ∞と∂az∞を用いて分析され、推定式により∂aw^s₁(z,a) < 1/50が得られ、これはねじれ条件の非退化性を証明するために不可欠である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的摂動を受ける2階常微分方程式において、摂動パラメータμが0に近づくにつれてホモクリニック・タングルの構造はどのように変化するか？
• RQ2 ホモクリニック・タングルが単一の無限記号ホースシュー写像に還元されるパラメータ条件は何か？
• RQ3 中間的μ値において、ホモクリニック・タングル内に吸引的周期解が存在する条件は何か？
• RQ4 ホモクリニック・タングルが非退化な横断的ホモクリニックねじれを許容するのはいつか？また、その動的結果は何か？
• RQ5 パラメータに依存する安定多様体は、タングルの幾何構造およびカオス的ダイナミクスの発生に果たす役割は何か？

主な発見

• μ=0に集積する無限個の互いに素な開区間が存在し、それらの各μにおいてホモクリニック・タングル全体が単一の無限記号ホースシュー写像で構成される。
• これらの区間の間には、ホモクリニック・タングルに吸引的周期解を含むパラメータμが存在し、シンクの存在と観測可能なカオスを示している。
• その他の中間パラメータでは、散逸的双曲的周期解の非退化な横断的ホモクリニックねじれがタングルに許容される。
• これらのねじれは、正の測度のパラメータ集合に対してSRB測度を有するスレート的吸引子の存在を示唆し、カオス的ダイナミクスの広範な存在を裏付けている。
• Fμ(V)の折りたたみ部分は、log μにおける一定速度でθ=+∞方向に水平移動し、μ→0の下でVとUの繰り返し交差を引き起こす。
• 摂動パラメータaに関する安定多様体の微分は、|∂aw^s₁(z,a)| < 1/50を満たし、これはホモクリニックねじれの非退化性を検証する上で不可欠である。