[論文レビュー] On the dynamics of codimension one holomorphic foliations with ample normal bundle

Marco Brunella|ArXiv.org|Jun 11, 2007

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、次元が3以上のコンパクトなカーラー多様体上で、正の正規束を備えたcodimension oneの正則foliationを調査し、そのfoliationが$C^{2,\beta}$のLevi-flat超曲面を不変に保つことはできないことを証明するとともに、このような超曲面の近傍で正の曲率を持つヘルミート計量を正規束が持てないことを示している。この結果は、これらの条件下ですべての葉が特異点集合に蓄積するというより広範な予想を支持するものである。

ABSTRACT

We investigate the accumulation to singular points of leaves of codimension one foliations whose normal bundle is ample, with emphasis on the nonexistence of Levi-flat hypersurfaces.

研究の動機と目的

• 正の正規束を備えたcodimension oneの正則foliationの葉が、特異点集合に蓄積するかどうかを調査し、$\mathbb{C}P^n$におけるLins Netoの結果を一般のコンパクトカーラー多様体へと拡張すること。
• 正規束$N_{\mathcal{F}}$が正である場合、すべての葉が特異点集合$Sing(\mathcal{F})$に蓄積するという予想を扱うこと。
• このようなfoliationが不変に保つ$C^{2,\beta}$のLevi-flat超曲面の存在を排除すること。
• foliationの力学的挙動と関連して、正規束の曲率性質を分析すること。
• このような不変超曲面が存在できない幾何学的およびコホロロジー的障害を探索すること。

提案手法

• 特に$N_{\mathcal{F}}$の正の性質を用いて、動的挙動を分析する正則foliationおよびその正規束の理論を用いる。
• Baum–Bottの公式を適用し、$N_{\mathcal{F}}$の第二チャーン類を特異点集合成分における留数と関連付ける。
• 特異点集合$Sing(\mathcal{F})$とは離れている不変コンパクト集合$\mathcal{M}$が存在すると仮定し、その補集合上で強い擬凸性の議論を展開する。
• Kähler形式$\omega$（$N_{\mathcal{F}}$を表す）の曲率性質を分析し、特異点集合の収縮後に$\omega \wedge \omega$が$\partial\bar{\partial}$-正確になることを示す。
• $\partial\bar{\partial}$-補題および写像$\pi: X \to X_0$を用いて、このような超曲面が存在する場合にコホロロジー的矛盾が生じることを導出する。
• 超曲面$M$上のLevi foliationの形式的および収束的拡張技術を検討し、非不変だが滑らかなLevi-flat超曲面への一般化の可能性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元$n \geq 3$のコンパクトカーラー多様体上に、正の正規束を備えたcodimension oneの正則foliationが、$C^{2,\beta}$の実超曲面$M$を不変に保つことは可能か？
• RQ2 正規束$N_{\mathcal{F}}$の正の性質は、すべての葉が特異点集合$Sing(\mathcal{F})$に蓄積することを示唆するか？
• RQ3 Levi-flat超曲面の正規束が、葉方向に正の曲率を持つヘルミート計量を備えることは可能か？
• RQ4 $C^{\infty}$-滑らかなLevi-flat超曲面を越えて、Levi foliationおよびその正規束を正則的対象として拡張することは可能か？
• RQ5 不変コンパクト集合$\mathcal{M}$の補集合が強く擬凸的であり、$N_{\mathcal{F}}$が正である場合、どのようなコホロロジー的障害が生じるか？

主な発見

• 次元$n \geq 3$のコンパクトカーラー多様体上に存在するcodimension oneの正則foliationの正規束$N_{\mathcal{F}}$は、そのfoliationに不変な$C^{2,\alpha}$の実超曲面$M$の近傍で、正の曲率を持つヘルミート計量を備えることはできない。
• 特異点集合$Sing(\mathcal{F})$とは離れている不変コンパクト集合$\mathcal{M}$が存在するならば、$X \setminus \mathcal{M}$は強く擬凸的であり、$N_{\mathcal{F}}$を表すKähler形式$\omega$は$\omega \wedge \omega = \sum \mu_j \delta_{Z_j} + i\partial\bar{\partial}S$を満たす。
• 特異点集合$Z = Sing(\mathcal{F})$を点に収縮する写像$\pi: X \to X_0$を施した後、$\pi_*(\omega \wedge \omega)$は$\partial\bar{\partial}$-正確になるが、これはKähler形式から生じる厳密に正の$(2,2)$-現在であるため、極めて不自然であると考えられる。
• 直接像$\pi_*(\omega^\wedge n)$は厳密に正の測度であり、したがって$\partial\bar{\partial}$-正確にはなり得ない。これは、このような$\mathcal{M}$が存在する場合にコホロロジー的不整合が生じることを示唆する。
• この結果は、$\mathcal{M}$が$C^{2,\alpha}$クラスのLevi-flat超曲面である場合でさえ、それが全体的に不変でなくても、正規束の葉方向正の曲率の仮定のもとでは存在できないことを示している。
• 本稿は、このような超曲面の非存在がコホロロジー的障害および形式的拡張技術によって支持されていると示唆しているが、完全な一般化は未解決のまま残っている。