[論文レビュー] On the dynamics of lattice systems with unbounded on-site terms in the Hamiltonian

Bruno Nachtergaele, Robert Sims|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2014

Quantum many-body systems参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアンに非有界な局所項を含む量子格子系に対して、Lieb-Robinson 界および熱力学的極限の存在を厳密に確立するための数学的基盤を提供する。先行研究におけるギャップ、特に強連続性、可測性、および作用素値時間発展方程式に関する問題を解決し、非有界相互作用を伴う無限系でさえも、コンmutator成長およびサポート拡張の精密な推定を用いて、動的発展が適切に定義され、局所的であることを証明する。

ABSTRACT

We supply the mathematical arguments required to complete the proofs of two previously published results: Lieb-Robinson bounds for the dynamics of quantum lattice systems with unbounded on-site terms in the Hamiltonian and the existence of the thermodynamic limit of the dynamics of such systems.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンに非有界な局所項を含む量子格子系の動的理論に関する先行研究における基礎的ギャップを是正すること。
• このような系におけるハイゼンベルク時間発展の熱力学的極限の存在を確立することにより、無限体積系における適切に定義された動的発展を保証すること。
• 非有界生成作用素を伴う作用素値関数の微分積分学に関する問題、特に強連続性、可測性、および微分可能性を解決すること。
• 非有界局所ハミルトニアンを有する系に対する Lieb-Robinson 型界の完全かつ数学的に厳密な導出を提供すること。
• 無限次元ヒルベルト空間および非有界作用素の文脈において、[11] および [12] の結果の正当性を保証するため、欠落していた技術的議論を補完すること。

提案手法

• 分離可能ヒルベルト空間上の有界線形作用素の空間における強連続かつ微分可能な作用素値関数を用いて、量子系における時間発展をモデル化すること。
• 一様有界性原理を用いて、強連続作用素値関数の局所的有界性を確立すること。
• 弱可測性および強可測性の基準を用いて、作用素値関数の時間積分の存在を正当化すること。
• Lieb-Robinson 型推定を用いて、コンミュータのノルムのノルム上限を導出する。特に、ハイゼンベルク時間発展におけるサポート拡張の成長を制御する。
• 相互作用項を、観測量のサポートを保存する項と拡張する項に分離し、それぞれの動的効果を別々に推定可能にする。
• 過剰数え上げの議論と空間的距離の和を用いて、非重複サポートを持つコンミュータのノルムを制御し、関数 $ F(d(x,y)) $ の減衰性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界な局所項を含む量子格子系の動的発展を、熱力学的極限においてどのように厳密に定義できるか。
• RQ2 非有界生成作用素を伴う作用素値関数の強連続性および可測性を保証する数学的条件は何か。
• RQ3 局所ハミルトニアンが非有界自己共役作用素である系に対して、Lieb-Robinson 界をどのように一般化できるか。
• RQ4 ハミルトニアンが非有界である場合に、有限なサポートを持つ観測量間のコンミュータの成長を正しく推定する方法は何か。
• RQ5 局所ハミルトニアンが有界でない場合に、有限体積系の時間発展が無限体積系の時間発展に収束する条件は何か。

主な発見

• 本稿は、非有界な局所項を含む量子格子系の動的発展が、熱力学的極限において適切に定義可能であることを確立した。これは、先行研究における主要なギャップを解消した。
• 非有界局所ハミルトニアンを有する系に対しても Lieb-Robinson 界が成り立つことを証明した。コンミュータノルムの上限は時間に対して指数関数的に増加するが、空間的距離とともに減衰する。
• 時間発展された観測量のノルムが系のサイズに依存せずに一様に有界であることが示された。これにより、有限体積近似における動的安定性が保証された。
• 有限体積時間発展 $ \\tilde{\tau}_{t,\text{int}}^{\\tilde{\tau}} $ 間の差が、体積が増加するにつれてゼロに収束することを証明した。誤差は $ C T \norm{A} \norm{\\tilde{\tau}} \norm{\\tilde{\tau}} \times \text{sum of } F(d(x,y)) $ に対して有界である。
• コンミュータノルムに対する定量的評価を導出した：$ \norm{[\\tau_{t-s}^{\\tilde{\\tau}}(\\tilde{A}(t)), \\tilde{\\tau}(Z,s)]} \leq \frac{2\norm{A}\norm{\\tilde{\\tau}(Z)}}{C} e^{2C\norm{\\tilde{\\tau}}T} \sum_{x\in X} \sum_{z\in Z} F(d(x,z)) $。この評価は距離とともに減衰する。
• 動的発展の収束がコンパクト時間区間上で一様であることが示され、誤差項は相互作用項の空間的減衰性および $ F(d(x,y)) $ のsummabilityに依存して制御可能である。