[論文レビュー] On the E-polynomials of a family of Character Varieties

Martı́n Mereb|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、有限体 $\mathbb{F}_q$ 上での多項式的点数を用いて、$M_g(SL_n)$ の E-多項式を計算する。$GL_n(\mathbb{F}_q)$ および $SL_n(\mathbb{F}_q)$ のキャラクター表、フロベニウスの公式、および集合分割へのモービウス逆転を用いる。主な結果は、組合せ的不変量と $q$ に関する条件を用いた閉形式の E-多項式であり、$\gcd(D,t) = 1$ のときにのみ非ゼロの寄与が生じ、モービウス関数と群の位数を含む明確な式が得られる。

ABSTRACT

We compute the E-polynomials of a family of twisted character varieties by proving they have polynomial count, and applying a result of N. Katz on the counting functions. To compute the number of GF(q)-points of these varieties as a function of q, we used a formula of Frobenius. Our calculations made use of the character tables of Gl(n,q) and Sl(n,q), previously computed by J. A. Green and G. Lehrer, and a result of Hanlon on the Möbius function of a subposet of set-partitions. The Euler Characteristics of these character varieties are calculated with these polynomial.

研究の動機と目的

• genus $g$ および $n \geq 2$ に対して、ねじれキャラクター多様体 $M_g(SL_n)$ の E-多項式を計算すること。
• これらの多様体の $\mathbb{F}_q$-点の数が $q$ の多項式であること、したがってカツの定理による E-多項式の計算が可能であることを確立すること。
• 表現論、分割の組合せ論、および集合分割のポセットへのモービウス逆転を用いて、E-多項式の閉形式表現を導出すること。
• E-多項式が非ゼロとなる正確な条件を特定すること、特に $\gcd(D,t) = 1$ および群の位数に関連する条件を含むこと。

提案手法

• $GL_n(\mathbb{F}_q)$ および $SL_n(\mathbb{F}_q)$ 上でのキャラクター和を用いて、$M_g(SL_n)$ の $\mathbb{F}_q$-点の数をフロベニウスの公式で計算する。
• グリーンとルーラーが事前に計算した $GL_n(\mathbb{F}_q)$ および $SL_n(\mathbb{F}_q)$ のキャラクター表を用いて、キャラクター和を評価する。
• スタビライザーを制御し、数え上げ問題を簡略化するために、集合分割のポセット $\Pi_\rho$ におけるモービウス逆転を適用する。
• 新たな次数関数を導入し、問題を商群 $\Gamma_D / \langle \delta_s \rangle$ 上での数え上げに還元し、群論的条件を用いてその位数を分析する。
• セット分割の部分ポセットにおけるモービウス関数のハロンの結果を用いて、蓄積された和を逆転させ、最終的な数え上げを回復する。
• 多様体が多項式的点数を持つことを利用し、カツの定理を適用して多項式的点数から E-多項式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 給定された genus $g$ および $n \geq 2$ に対して、ねじれキャラクター多様体 $M_g(SL_n)$ の E-多項式は何か？
• RQ2 $q$ および群パラメータに関して、E-多項式が非ゼロとなる条件は何か？
• RQ3 $M_g(SL_n)$ の $\mathbb{F}_q$-点の数は $q$ の多項式としてどのように表現できるか？その構造は何か？
• RQ4 モービウス関数および集合分割のポセットは、E-多項式の計算においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 群作用のスタビライザーは、点数および最終的な E-多項式にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $M_g(SL_n)$ の E-多項式は、群と表現に関連するパラメータ $D$ および $t$ に対して $\gcd(D,t) = 1$ のときにのみ非ゼロである。
• $M_g(SL_n)$ の $\mathbb{F}_q$-点の数は $q$ の多項式であり、カツの定理を用いて E-多項式を計算することが可能である。
• $\gcd(D,t) = 1$ の場合、E-多項式はモービウス関数 $\mu(b_d)$、因子 $(-b_d)^{m-1}(m-1)!$、および $\frac{q-1}{t}$ を含む閉形式で与えられる。
• $\gcd(D,t) \neq 1$ の場合、モービウス逆転および群の位数解析により、E-多項式はゼロになる。
• 蓄積された和 $bf(\nu)$ の唯一の非ゼロ寄与は、最上位の集合分割 $b_1$ から生じるため、逆転処理が簡略化される。
• 最終的な E-多項式の式は、$\gcd(D,t) = 1$ の場合 $Z(D,t,b_d,\vec{\lambda}) = \mu(b_d)(-b_d)^{m-1}(m-1)! \cdot \frac{q-1}{t}$ であり、そうでない場合は 0 である。