[論文レビュー] On the edge metric dimension for the random graph

Nina Zubrilina|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2016

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Erdős-Rényi確率的グラフ $G(n,p)$ の漸近的エッジメトリック次元を確立し、$\operatorname{edim}(G(n,p)) = (1+o(1))\frac{4\log n}{\log(1/q)}$ であることを示している。ここで $q = 1 - 2p(1-p)^2(2-p)$ である。確率的技法とランダムな頂点集合のエッジを区別する性質を用いて、エッジのペアを区別できない確率を分析することで、古典的なメトリック次元の研究をエッジメトリック次元の文脈に拡張した。

ABSTRACT

Let $G(V, E)$ be a connected simple undirected graph. In this paper we prove that the edge metric dimension (introduced by Kelenc, Tratnik and Yero) of the Erdős-Rényi random graph $G(n, p)$ is given by: $$ extrm{edim}(G(n, p)) = (1 + o(1))\frac{4\log(n)}{\log(1/q)},$$ where $q = 1 - 2p(1-p)^2(2-p)$.

研究の動機と目的

• 定数 $p \in (0,1)$ に対して、Erdős-Rényi確率的グラフ $G(n,p)$ の漸近的エッジメトリック次元を特定すること。
• 従来のメトリック次元に関する研究で用いられた確率的技法を、エッジメトリック次元の文脈に拡張すること。
• サイズ $r$ のランダムな頂点集合が、$G(n,p)$ においてすべてのエッジペアを漸近的にほとんど確実に区別するための閾値を特定すること。
• エッジメトリック次元と古典的メトリック次元を比較し、すべての定数 $p$ に対して a.a.s. で $\dim(G(n,p)) < \operatorname{edim}(G(n,p))$ が成り立つことの示唆。

提案手法

• サイズ $r = (1+o(1))\frac{4\log n}{\log(1/q)}$ のランダムな頂点集合が漸近的にほとんど確実にエッジ基底を形成することを示すために、確率的技法を適用する。
• $q = 1 - 2p(1-p)^2(2-p)$ を、一様ランダムに選ばれた頂点がランダムな互いに素なエッジペアを区別できない確率として定義する。
• エッジペアを重複するタイプと互いに素なタイプに分類し、漸近的に分析において互いに素なペアが支配的であることを示す。
• 独立性と $q^r$ を用いた指数的減衰を利用して、ランダムな頂点集合がいかなるエッジペアも区別できない確率を評価する。
• 一階および二階モーメント法を用いて、区別されないエッジペアの期待数を推定し、$n \to \infty$ のときその値が 0 に収束することを示す。
• 二階モーメント法を用いてエッジ生成集合の数の集中性を示し、正の確率で存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数 $p$ をもつ Erdős-Rényi確率的グラフ $G(n,p)$ の漸近的エッジメトリック次元は何か？
• RQ2 Erdős-Rényi確率的グラフ $G(n,p)$ のエッジメトリック次元は、その古典的メトリック次元とどのように異なるか？
• RQ3 確率的技法を、古典的メトリック次元の研究と同様に、エッジメトリック次元の漸近的境界を導出するために適応可能か？
• RQ4 どの $p$ の値に対して、$\operatorname{edim}(G(n,p)) > \dim(G(n,p))$ が漸近的にほとんど確実に成り立つか？

主な発見

• エッジメトリック次元は、$\operatorname{edim}(G(n,p)) = (1+o(1))\frac{4\log n}{\log(1/q)}$ に漸近的に等しい。ここで $q = 1 - 2p(1-p)^2(2-p)$ である。
• 定数 $p \in (0,1)$ に対して、エッジメトリック次元は古典的メトリック次元よりも漸近的に大きい。なぜなら $\frac{4}{\log(1/q)} > \frac{2}{\log(1/Q)}$ であり、$Q = p^2 + (1-p)^2$ であるから。
• 一様ランダムに選ばれた頂点が、ランダムな互いに素なエッジペアを区別できない確率は、漸近的に $q = 1 - 2p(1-p)^2(2-p)$ に等しい。
• サイズ $r = (1+o(1))\frac{4\log n}{\log(1/q)}$ のランダムな頂点集合は、$G(n,p)$ においてすべてのエッジペアを漸近的にほとんど確実に区別する。
• サイズ $r$ のエッジ生成集合の期待数は $n \to \infty$ のとき 0 に収束するため、境界のタイトさが確認される。
• 解析により、すべての定数 $p \in (0,1)$ に対して、$\operatorname{edim}(G(n,p))$ は $\dim(G(n,p))$ よりも厳密に大きいことが、a.a.s. で確認された。