[論文レビュー] On the effective cone of $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$

Scott Mullane|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、アーベル微分の層に着目することで、$g \geq 2$ および $n \geq g+1$ の場合に、$¯{\mathcal{M}}_{g,n}$ の中で無限個の極値有効除算子を構成する。コンパクト化された層 $¯{\mathcal{P}}(\kappa)$ のファイブレーションから得られる被覆曲線を用いて、これらの除算子が擬有効コーン内で極値であることを証明し、$¯{\mathcal{M}}_{g,n}$ の双有理幾何に関する理解を顕著に進展させる。

ABSTRACT

For every $g\geq 2$ and $n\geq g+1$ we exhibit infinitely many extremal effective divisors in $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ coming from the strata of abelian differentials.

研究の動機と目的

• モジュライ空間の双有理幾何における中心的未解決問題である、$\u00af{\mathcal{M}}_{g,n}$ の擬有効コーンの構造を理解すること。
• アーベル微分から得られる幾何的対象を用いて、$g \geq 2$ および $n \geq g+1$ の場合に、$\u00af{\mathcal{M}}_{g,n}$ における新しい極値有効除算子を構成すること。
• これらの除算子が負に交わる被覆曲線を構成することで、それらが極値であることを証明すること。
• 特に、ブラーリ・ヌーレンベルク、シグマ除算子、スピン構造の局所化から得られる結果を拡張すること。

提案手法

• タイプ $\kappa$ の正則または有理型微分をもつ曲線の集合の閉包として、除算子 $D^n_\kappa \subset \u00af{\mathcal{M}}_{g,n}$ を構成する。ここで $\kappa$ は $2g-2$ の分割である。
• ねじれ canonical 除算子のコンパクト化層 $¯{\mathcal{P}}(\kappa)$ を用いて、$\u00af{\mathcal{M}}_{g,m-g-1}$ 上のファイブレーションを定義し、$\u00af{\mathcal{M}}_{g,n}$ 内の曲線を生成する。
• $m-g-1$ 個のマークド点を固定し、残りの $n$ 個の点を層 $\mathcal{P}(\kappa)$ 内で変化させることで、被覆曲線類 $B^n_\kappa$ を定義する。
• 被覆曲線 $B$ が $B \cdot D < 0$ を満たすならば、$D$ は擬有効コーン内で極値であるという基準を適用する。
• [BCGGM] におけるグローバルリジデュー条件を用いて、$¯{\mathcal{P}}(\kappa)$ の主要成分を特定し、構成が適切に定義されることを保証する。
• 既知の除算子類 [Mullane2]、[Muller]、[GruZak]、[FarkasVerraTheta] を用いて、構成が先行研究と整合していることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $g \geq 2$ および $n \geq g+1$ の場合に、$\u00af{\mathcal{M}}_{g,n}$ に無限個の極値有効除算子が存在するか？
• RQ2 アーベル微分の層 $\u00af{\mathcal{M}}_{g,n}$ 内で、擬有効コーン内の極値除算子を構成するために利用可能か？
• RQ3 層 $¯{\mathcal{P}}(\kappa)$ のファイブレーションから得られる被覆曲線は、$\u00af{\mathcal{M}}_{g,n}$ 内の除算子の極値性を判定する基準を提供するか？
• RQ4 これらの新しい極値除算子は、シグマ除算子やブラーリ・ヌーレンベルク局所化から得られる既知のクラスとどのように関係するか？

主な発見

• 任意の $g \geq 2$ および $n \geq g+1$ に対して、本稿はアーベル微分の層から生じる無限個の極値有効除算子を $\u00af{\mathcal{M}}_{g,n}$ 内に示す。
• すべての $k_i$ が偶数でない限り、除算子 $D^n_\kappa$ は既約である。すべての $k_i$ が偶数の場合、奇数スピン構造と偶数スピン構造に対応する2つの成分を持つ。
• 固定された $m-g-1$ 個の点と、$\mathcal{P}(\kappa)$ 内で変化する $n$ 個の点から得られる被覆曲線類 $B^n_\kappa$ は、$B^n_\kappa \cdot D^n_\kappa < 0$ を満たし、極値性を証明する。
• 本構成は、ブラーリ・ヌーレンベルク、コーサン、シグマ除算子局所化から得られる既存の極値除算子の結果を一般化・拡張する。
• 本手法により、$g \geq 2$ および $n \geq g+1$ の場合に、$\u00af{\mathcal{M}}_{g,n}$ の擬有効コーンが有理的多面体でないことが確認され、無限個の極値線を含む。