[論文レビュー] On the eigenstates of the elliptic Calogero-Moser model

Kouichi Takemura|ArXiv.org|Feb 14, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\tau$-パラメータが小さい極限（すなわち三角関数的極限）において、楕円型Calogero-Moserハミルトニアンの固有状態および固有値の摂動展開の収束を、Betheアンザッツ法を用いて確立する。$N=2$ で正の整数結合係数 $l$ を持ち、$N=3$ で $l=1$ の場合、楕円型モデルの$L^2$固有状態および固有値が、Calogero-Sutherlandモデルのそれらに収束することを証明し、$p = \exp(2\pi i\tau)$ における正則摂動の正当化を示している。

ABSTRACT

It is known that the trigonometric Calogero-Sutherland model is obtained by the trigonometric limit (τ o \sqrt{-1} \infty) of the elliptic Calogero-Moser model, where (1,τ) is a basic period of the elliptic function. We show that for all square-integrable eigenstates and eigenvalues of the Hamiltonian of the Calogero-Sutherland model, if \exp (2π\sqrt{-1} τ) is small enough then there exist square-integrable eigenstates and eigenvalues of the Hamiltonian of the elliptic Calogero-Moser model which converge to the ones of the Calogero-Sutherland model for the 2-particle and the coupling constant l is positive integer cases and the 3-particle and l=1 case. In other words, we justify the regular perturbation with respect to the parameter \exp (2π\sqrt{-1} τ). With some assumptions, we show analogous results for N-particle and l is positive integer cases.

研究の動機と目的

• 楕円型Calogero-Moserモデルの正則摂動展開が、三角関数的極限（$\tau \to i\infty$）において正当化されるかを検証すること。
• 楕円型モデルの$L^2$固有状態および固有値が、Calogero-Sutherlandモデルのそれらに収束する存在を確立すること。
• $N=2$, $l \in \mathbb{Z}_{>0}$ および $N=3$, $l=1$ の場合の収束結果を、ある仮定の下で一般の$N$粒子系に拡張すること。
• $p = \exp(2\pi i\tau)$ における解析的接続を通じて、楕円型モデルのBetheアンザッツ解と、三角関数的モデルのジャック多項式固有状態を結びつけること。

提案手法

• 楕円型ハミルトニアンの固有値問題を、超越的Betheアンザッツ方程式の解法に還元するためにBetheアンザッツ法を用いる。
• $p = 0$ に近い解の解析的性質を分析するため、陰関数定理を適用する。これは三角関数的極限に対応する。
• 固有状態を $p = \exp(2\pi i\tau)$ の形式的べき級数として構成し、$N=2$, $l \in \mathbb{Z}_{>0}$ および $N=3$, $l=1$ の場合に収束を証明する。
• Betheアンザッツ状態の（反）対称化を実装し、$L^2$可積分性を保証する。これは、二重周期関数の有限次元空間とは区別される。
• 摂動項 $V_i$ の行列要素を計算するために、ジャック多項式のPieri公式に依存する。ハミルトニアンの展開 $H = H_0 + \sum p^i V_i$ の中で用いる。
• 摂動的極限における参照として、Calogero-Sutherlandモデルの既知の固有状態構造（ジャック多項式）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円型Calogero-Moserモデルの固有状態の摂動展開は、三角関数的極限において、既知のCalogero-Sutherlandモデルの固有状態に収束するか？
• RQ2 $p = \exp(2\pi i\tau) \to 0$ のとき、楕円型モデルの固有状態が$L^2$可積分性を保ち、収束する条件は何か？
• RQ3 $N=2$ および $N=3$ で $l=1$ の場合、Betheアンザッツ方程式の解が $p = 0$ の近傍でどのように解析的に振る舞うか？
• RQ4 Betheアンザッツ法を用いて、二重周期関数の有限次元空間に含まれない楕円型モデルの固有状態を構成できるか？

主な発見

• $N=2$ および $l \in \mathbb{Z}_{>0}$ の場合、楕円型Calogero-Moserモデルのすべての$L^2$固有状態および固有値は、$p \to 0$ のとき、Calogero-Sutherlandモデルのそれらに収束する。
• $N=3$ および $l=1$ の場合、Betheアンザッツ方程式および臨界点の挙動の解析を通じて、固有状態および固有値の収束が確立されている。
• $p = \exp(2\pi i\tau)$ における摂動級数は、$N=2$, $l \in \mathbb{Z}_{>0}$ および $N=3$, $l=1$ の場合に正則に収束する。これにより、形式的摂動法の使用が正当化される。
• Betheアンザッツによって構成された固有状態は、有限次元の二重周期関数の空間に属さず、その（反）対称化が$L^2$可積分性を保証する。
• この方法により、楕円型モデルのハミルトニアンの対角化が、物理的パrameterを持つジャック多項式とは直接関連しないことが確認された。代わりに、摂動的領域では非物理的パrameterを持つものに関連している。
• ある仮定の下で、収束結果は一般の$N$粒子系に拡張可能であり、特に $l$ が正の整数である場合に成立する。