[論文レビュー] On the eigenvalues of some nonhermitian oscillators

Francisco M. Fern, andez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非エルミート的振動子、特にPT対称系の固有値と共鳴状態を、複素回転法とリカッチ・パデ法を用いて調査している。最適な回転角が系をPT対称的またはエルミート的形に変換できることを示し、対角化法とリカッチ・パデ法を用いて、実数の正の固有値および共鳴状態の両方を計算できることを示している。後者の手法は、両方の状態タイプを捉えることができる。

ABSTRACT

We consider a class of one-dimensional nonhermitian oscillators and discuss the relationship between the real eigenvalues of PT-symmetric oscillators and the resonances obtained by different authors. We also show the relationship between the strong-coupling expansions for the eigenvalues of those oscillators. Comparison of the results of the complex rotation and the Riccati-Pad\'{e} methods reveals that the optimal rotation angle converts the oscillator into either a PT-symmetric or an Hermitian one. In addition to the real positive eigenvalues the PT-symmetric oscillators exhibit real positive resonances under different boundary conditions. They can be calculated by means of the straightforward diagonalization method. The Riccati-Pad\'e method yields not only the resonances of the nonhermitian oscillators but also the eigenvalues of the PT-symmetric ones.

研究の動機と目的

• 他の研究者によって得られたPT対称的振動子の実数固有値と、共鳴状態との関係を明確化すること。
• 非エルミート的振動子の強結合展開における固有値の分析。
• 最適な回転角が非エルミート的振動子をPT対称的またはエルミート的形にどのように変換するかを調査すること。
• リカッチ・パデ法を用いて、PT対称的振動子の共鳴状態と固有値の両方を計算できることを示すこと。

提案手法

• ハミルトニアンを変換し共鳴状態を抽出するために、複素回転法を応用すること。
• 非エルミート的振動子の固有値と共鳴状態を計算するために、リカッチ・パデ法を用いること。
• 複素回転法とリカッチ・パデ法の結果を比較し、最適な回転角を特定すること。
• 異なる境界条件の下で、直ちに対角化することで実数の正の共鳴状態を計算すること。
• 強結合展開の分析により、異なる振動子モデル間での固有値の振るまいを関連付けること。
• 最適な回転角がPT対称的またはエルミート的ハミルトニアンをもたらす条件を特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PT対称的振動子の実数固有値は、他の研究者によって得られた共鳴状態とどのように関係しているか？
• RQ2 最適な回転角が非エルミート的振動子をPT対称的またはエルミート的形に変換する役割は何か？
• RQ3 複素回転法とリカッチ・パデ法の結果は、共鳴状態と固有値の計算においてどのように比較できるか？
• RQ4 リカッチ・パデ法は、非エルミート的およびPT対称的振動子において、共鳴状態と固有値の両方を正確に計算できるか？
• RQ5 非エルミート的振動子の固有値の強結合展開の振るまいはいかなるものか？

主な発見

• 最適な回転角により、非エルミート的振動子は、パrameterの範囲に応じてPT対称的またはエルミート的系に変換される。
• 異なる境界条件の下で、PT対称的振動子に実数の正の共鳴状態が現れ、直ちに対角化により計算可能である。
• リカッチ・パデ法は、非エルミート的振動子の共鳴状態と、PT対称的系の固有値の両方を効果的に計算できる。
• 非エルミート的振動子の固有値の強結合展開は、異なるモデル間で一貫して関連している。
• 複素回転法とリカッチ・パデ法の比較により、最適な回転角が系を単純化するうえで頑健であることが確認された。
• 共有される数学的構造を通じて、非エルミート系の共鳴状態とPT対称系の固有値との間の直接的な関係が確立された。