[論文レビュー] On the electrical current distributions for the generalized Ohm's Law

Marco Pedro Ramírez Tachiquín|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2010

Numerical methods in inverse problems参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、擬解析関数理論の形式的冪を用いて、2次元非一様媒体における一般化されたオームの法則を解くための新規な解析的手法を提示する。Vekua方程式と変数分離型導電率関数を用いて解を構築することで、電流分布および電位の明示的モデル化が可能となり、電気インピーダンストモグラフィーにおける逆問題に対する構成的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The paper studies a particular class of analytic solutions for the Generalized Ohm's Law, approached by means of the so called formal powers of the Pseudoanalytic Function Theory. The reader will find a description of the electrical current distributions inside bounded domains, within inhomogeneous media, and their corresponding electric potentials near the boundary. Finally, it is described a technique for approaching separable-variables conductivity functions, a requisite when applying the constructive methods posed in this work.

研究の動機と目的

• 非一様導電率を有する2次元有界領域における一般化されたオームの法則の構成的解析的解法の開発。
• 擬解析関数理論の応用を拡張し、非一様媒体における電流分布および電位のモデル化。
• 提案された解法手法に不可欠な変数分離型導電率関数を近似するための技術の提供。
• 非一様媒体における電流密度パッチの動的挙動が一様な場合と比較してどのように異なるかの提示。
• Bers生成対のクaternion化を用いた3次元問題への一般化を通じて、3次元問題の解決に向けた基盤を構築。

提案手法

• 擬解析関数理論における生成対 (F, G) から導かれる形式的冪を用いて、一般化されたオームの法則の解を構築する。
• 電位を表す擬解析関数をモデル化するため、∂̅_z W − a(F,G)W − b(F,G)W̄ = 0 として表されるVekua方程式を適用する。
• 解の妥当性を保証するため、特徴的係数 A(F,G), B(F,G), a(F,G), b(F,G) を用いて (F,G)-微分を定義する。
• 形式的冪の線形結合を用いて解を構築し、2次元における一般解の近似を可能にする。
• グリッドベースのサンプリングと線形補間を用いた、変数分離型導電率関数の区分的補間法を導入する。
• Vekua方程式に類似したクォータニオン形式の式を定式化することで、3次元問題への枠組みの拡張を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬解析関数理論の形式的冪は、非一様媒体における一般化されたオームの法則の解析的解法を構築するためにどのように利用可能か？
• RQ2 導電率関数が非一様かつ指数関数的形をとる場合、電流密度分布はどのように振る舞うか？
• RQ3 構成的解法に用いるために、変数分離型導電率関数を効果的に近似できるか？
• RQ4 非一様媒体における電流密度パッチの動的挙動は、一様媒体の場合と比べてどのように異なるか？
• RQ5 Vekua方程式は、2次元一般化オームの法則の一般解を可能にするために果たす役割は何か？

主な発見

• 擬解析関数理論の形式的冪を用いることで、2次元における一般化されたオームの法則の解析的解の構築が可能である。
• 非一様媒体において、Vekua方程式の解を形式的冪でモデル化した場合、電流密度パッチは規則的な動的挙動を示す。
• 変数分離型導電率関数のための区分的補間技術が提案され、解法の数値的応用が可能になる。
• 一般化されたオームの法則のクォータニオン形式により、3次元問題への拡張が可能となる。
• Calderón（1980年）が提示した電気インピーダンストモグラフィーにおける逆問題を解くための構成的枠組みを提供する。
• 特徴的係数 A(F,G), B(F,G), a(F,G), b(F,G) の使用により、(F,G)-擬解析的解の存在と構造が保証される。