[論文レビュー] On the elementary symmetric functions of a sum of matrices

Roberto S. Costas-Santos|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2006

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、行列の和の基本対称関数の明示的代数的表現を、直接定義とニュートン・ギラールの恒等式を用いて導出する。特に、$ S_2(A+B) $、$ S_3(A+B) $、$ S_4(A+B) $ に注目している。主たる貢献は、$ N \to n+1 $ 個の行列の和に対して一般化された行列式恒等式を導出し、Bessis-Moussa-Villani (BMV) 予想および行列多項式のトレースにおける非負係数に関するより広範な正値性予想への新たな知見を提供することにある。

ABSTRACT

Often in mathematics it is useful to summarize a multivariate phenomenon with a single number and in fact, the determinant -- which is represented by det -- is one of the simplest cases. In fact, this number it is defined only for square matrices and a lot of its properties are very well-known. For instance, the determinant is a multiplicative function, i.e. det(AB)=detA detB, but it is not, in general, an additive function. Another interesting function in the matrix analysis is the characteristic polynomial -- in fact, given a matrix A, this function is defined by $p_A(t)=det(tI-A)$ where I is the identity matrix -- which elements are, up a sign, the elementary symmetric functions associated to the eigenvalues of the matrix A. In the present paper new expressions related with the determinant of sum of matrices and the elementary symmetric functions are given. Moreover, the connection with the Mobius function and the partial ordered sets (poset) is presented. Finally, a problem related with the determinant of sum of matrices is solved.

研究の動機と目的

• 行列の和 $ S_k(A+B) $ について、$ k=2,3,4 $ に対して閉形式の表現を導出すること。ここで $ A,B $ は $ n \times n $ 行列である。
• Chapman が示した既知の恒等式を一般化し、$ N \geq n+1 $ 個の行列の和に対して行列式恒等式を拡張すること。
• Bessis-Moussa-Villani (BMV) 予想を支持し、$ \mathrm{Tr}((A+tB)^m) $ および $ S_k((A+tB)^m) $ における非負係数に関するより広範な正値性予想を提示すること。
• 対称関数論、分割、および行列のべきの一般化されたワーリングの公式との関係を調査すること。
• 組合せ的恒等式およびニュートン・ギラールの関係を用いた、行列和の対称関数の基礎を築くこと。

提案手法

• 行列式のラプラス展開および交代和の定義を用いて、特に $ N \geq n+1 $ の場合に $ \det(A + \sum A_i) $ の恒等式を導出する。
• ニュートン・ギラールの恒等式を適用し、$ S_k(A+B) $ を累乗和および低次の対称関数で表現する。
• インデックス集合 $ \alpha \subseteq \{1,\dots,n\} $ を用いた組合せ的インデックス法を採用し、$ |\alpha| = k $ のとき $ S_k(A) = \sum_{|\alpha|=k} \det(A(\alpha,\alpha)) $ を定義する。
• 直接展開および対称関数の恒等式を用いて、$ S_2(A+B) $、$ S_3(A+B) $、$ S_4(A+B) $ の明示的公式を導出する。
• 一般化されたワーリングの公式を用い、$ S_k(A^m) $ を行列語の基本対称関数および分割に基づいて表現する。
• 一般化された交代和恒等式 $ \sum_{k=0}^N (-1)^k \sum_{|\Omega|=k} \det(A + \sum_{A_i \in \Omega} A_i) = 0 $ を、数学的帰納法およびラプラス展開を用いて証明する。$ N \geq n+1 $ の範囲で成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本対称関数の定義を用いて、$ S_2(A+B) $、$ S_3(A+B) $、$ S_4(A+B) $ に対して明示的な代数的表現を導出可能か？
• RQ2 一般化された行列式恒等式 $ \sum_{k=0}^N (-1)^k \sum_{|\Omega|=k} \det(A + \sum_{A_i \in \Omega} A_i) = 0 $ が $ N \geq n+1 $ で成り立ち、行列の対称関数にどのような意味を持つのか？
• RQ3 Bessis-Moussa-Villani (BMV) 予想は、$ S_k((A+tB)^m) $ がすべての $ k=0,1,\dots,r $ に対して非負係数を持つというより広範な正値性予想に拡張可能か？
• RQ4 整数の分割および対称関数論は、$ S_k(A^m) $ の表現に果たす役割は何か？また、$ S_k(A_1 + \cdots + A_N) $ に一般化可能か？
• RQ5 ニュートン・ギラールの恒等式をどのように応用すれば、行列和の高次対称関数の閉形式を導出できるか？

主な発見

• 本稿では、Chapman の結果を一般化した新しい恒等式を確立した：$ \sum_{k=0}^N (-1)^k \sum_{|\Omega|=k} \det(A + \sum_{A_i \in \Omega} A_i) = 0 $ が $ N \geq n+1 $ で成り立つ。
• 直接計算およびニュートン・ギラールの恒等式を用いて、$ S_2(A+B) $、$ S_3(A+B) $、$ S_4(A+B) $ の明示的公式が導出された。
• BMV 予想は、$ k=1 $ の特殊ケースとして、より広範な正値性予想の一部であることが示された：$ A,B $ が正定値半定値行列のとき、$ S_k((A+tB)^m) $ はすべての $ k=0,1,\dots,r $ に対して非負係数を持つ。
• 一般化されたワーリングの公式を用いて、$ S_k(A^m) $ の表現が分割 $ \lambda $ を用い、マルチノミアルおよび対称関数の恒等式から導かれる係数 $ A_\lambda $ を含む形で与えられた。
• 本手法により、行列の対称関数と整数の分割との深い関係が明らかになった。これは、高次対称関数の構造が分割論に裏付けられている可能性を示唆している。
• 一般化された行列式恒等式の証明は、行列サイズに関する帰納法を用い、ラプラス展開および小行列に対する帰納仮定を適用することで行われた。