[論文レビュー] On the Emergence of Lorentz Invariance and Unitarity from the Scattering Facet of Cosmological Polytopes

Nima Arkani–Hamed, Paolo Benincasa|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2018

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、宇宙論的ポリトープの幾何的構造から、量子場理論の根本的原則たるローレンツ不変性とユニタリティがどのように生じるかを示している。宇宙の終焉時波動関数のあらゆる初期状態の記述を提供する宇宙論的ポリトープの幾何的性質を用いて、散乱 facet における解析により、正準形式の contour 積分表現が自然にローレンツ不変な伝播関数を符号化しており、境界の因子分解がユニタリ S行列要素を生じることを示している。

ABSTRACT

The concepts of Lorentz invariance of local (flat space) physics, and unitarity of time evolution and the S-matrix, are famously rigid and robust, admitting no obvious consistent theoretical deformations, and confirmed to incredible accuracy by experiments. But neither of these notions seem to appear directly in describing the spatial correlation functions at future infinity characterizing the "boundary" observables in cosmology. How then can we see them emerge as {\\it exact} concepts from a possible ab-initio theory for the late-time wavefunction of the universe? In this letter we examine this question in a simple but concrete setting, for the perturbative wavefunction in a class of scalar field models where an ab-initio description of the wavefunction has been given by "cosmological polytopes". Singularities of the wavefunction are associated with facets of the polytope. One of the singularities -- corresponding to the "total energy pole" -- is well known to be associated with the flat-space scattering amplitude. We show how the combinatorics and geometry of this {\\it scattering facet} of the cosmological polytope straightforwardly leads to the emergence of Lorentz invariance and unitarity for the S-matrix. Unitarity follows from the way boundaries of the scattering facet factorize into products of lower-dimensional polytopes, while Lorentz invariance follows from a contour integral representation of the canonical form, which exists for any polytope, specialized to cosmological polytopes.

研究の動機と目的

• 平坦空間量子場理論におけるローレンツ不変性とユニタリティ—きつい制約を受ける原則—が、時空やヒルベルト空間に言及しない背景独立な波動関数記述からどのように生じるかを理解すること。
• 宇宙論的ポリトープが、時空やヒルベルト空間に直接言及しないで波動関数を組み合わせ的・幾何的に記述する役割を調査すること。
• 全エネルギー極 $E_{\text{tot}}$ に関連する宇宙論的ポリトープの散乱 facet が平坦空間 S 行列を生じ、ユニタリティとローレンツ不変性の両方を符号化することを示すこと。
• ポリトープの幾何と散乱振幅の解析的構造との直接的な関係を確立すること、特に因子分解と contour 積分表現を通じて。

提案手法

• delta 関数と留数を含む contour 積分表現によって定義される宇宙論的ポリトープの正準形式を用い、波動関数の被積分関数を計算する。
• ポリトープの散乱 facet を全エネルギー極 $E_{\text{tot}}$ に対応する幾何的領域として特定し、平坦空間散乱振幅が得られることを示す。
• 散乱 facet に contour 積分表現を適用することで、ループ振幅における $l_0$ 積分が回復され、$i\varepsilon$ 記述が正準形式から自然に生じることを示す。
• 散乱 facet の境界構造を解析：各低次元面は連結部分グラフに対応し、低次元の散乱 facet と単体の積に因子分解される。
• 境界の因子分解を用いて、波動関数が低点振幅と波動関数の積に分解されることから、S 行列のユニタリティを導出する。
• 正準形式による線形エネルギー極のペアリングから、2次元ローレンツ不変伝播関数が生じることを示し、ローレンツ不変性が幾何的に符号化されていることを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ不変性—相対論的量子場理論の基盤である—が、空間運動量しか符号化しないような幾何的対象である宇宙論的ポリトープからどのように生じるのか？
• RQ2 境界記述において時間発展が存在しないにもかかわらず、S 行列のユニタリティは宇宙の波動関数においてどのように実現されるのか？
• RQ3 平坦空間散乱振幅の幾何的起源は、宇宙論的ポリトープの枠組みの中でどのように特定されるのか？
• RQ4 ポリトープの正準形式と contour 積分表現が、どのようにループ振幅における正しい $i\varepsilon$ 記述と $l_0$ 積分を再現するのか？
• RQ5 宇宙論的ポリトープの散乱 facet は、その因子分解と解析的構造がポリトープの組み合わせ論から生じることを踏まえ、S 行列の幾何的実現と解釈できるか？

主な発見

• 宇宙論的ポリトープの散乱 facet は全エネルギー極 $E_{\text{tot}}$ に幾何的に関連し、その留数が平坦空間散乱振幅を生成する。
• S 行列のユニタリティは、散乱 facet の境界が低次元の散乱 facet と単体の積に因子分解されることに起因し、オンシェル中間状態に対応する。
• 正準形式の contour 積分表現からローレンツ不変性が生じ、ループ振幅における正しい $i\varepsilon$-規定の $l_0$ 積分が自然に得られる。
• 振幅内の2次元ローレンツ不変伝播関数は、正準形式によって線形エネルギー極の積に分解され、相対論的伝播関数のより深い幾何的起源が明らかになる。
• 波動関数被積分関数の解析的構造—特に $1/(y_c^2 - (y_a + y_b - x_1)^2)$ 項—は contour 積分による $l_0$ 積分と一致し、$1/(2y)$ 要素は留数から生じる。
• 散乱 facet の幾何は、『宇宙論的アソシアヘドロン』への一般化の可能性を示唆しており、高次元幾何的構造を通じて宇宙波動関数と散乱振幅を統一する可能性を秘めている。