[論文レビュー] On the Endpoint Regularity in Onsager's Conjecture

Philip Isett|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、臨界指数 $1/3$ に近い空間時間 Hölder 正則性を有する 3D 不可縮圧 Euler 方程式の弱解を構成し、Onsagerの予想の端点においてエネルギー保存が成り立たないことを示している。局所化周波数推定と時間スケーリングにおける対数的改善を組み込んだ洗練された凸統合スキームを用いて、以前の結果よりも $C^{1/3}$ に近い正則性を達成し、臨界閾値から固定されたギャップを回避している。

ABSTRACT

Onsager's conjecture states that the conservation of energy may fail for $3D$ incompressible Euler flows with Hölder regularity below $1/3$. This conjecture was recently solved by the author, yet the endpoint case remains an interesting open question with further connections to turbulence theory. In this work, we construct energy non-conserving solutions to the $3D$ incompressible Euler equations with space-time Hölder regularity converging to the critical exponent at small spatial scales and containing the entire range of exponents $[0,1/3)$. Our construction improves the author's previous result towards the endpoint case. To obtain this improvement, we introduce a new method for optimizing the regularity that can be achieved by a convex integration scheme. A crucial point is to avoid power-losses in frequency in the estimates of the iteration. This goal is achieved using localization techniques of \cite{IOnonpd} to modify the convex integration scheme. We also prove results on general solutions at the critical regularity that may not conserve energy. These include a theorem on intermittency stating roughly that energy dissipating solutions cannot have absolute structure functions satisfying the Kolmogorov-Obukhov scaling for any $p > 3$ if their singular supports have space-time Lebesgue measure zero.

研究の動機と目的

• 正則性が $C^{1/3}$ に任意に近い 3D 不可縮圧 Euler 方程式の弱解を構成することで、Onsagerの予想の端点ケースを解消すること。
• 以前の凸統合構成において持続的に生じていた正則性ギャップを克服し、$1/3$ よりも厳密に正の指数ギャップがない状態を実現すること。
• 繰り返し推定における周波数ベースのパワー損失を最小化することで、正則性を最適化する新しい凸統合アルゴリズムを開発すること。
• 臨界正則性 $1/3$ におけるエネルギー散逸型解の構造、特に間歇的性およびスケーリング則に関して分析すること。
• 空間時間測度がゼロである特異的台を持つ解がエネルギーを散逸する場合、$p>3$ の場合に Kolmogorov-Obukhov スケーリングを満たせないことを確立すること。

提案手法

• 周波数相互作用を制御し、繰り返し推定におけるパワー損失を排除するために、[IO16b] の局所化技術を用いた修正された凸統合スキームを導入する。
• 誤差増大の追跡に重み付きノルム枠組み $\mathpzc{h}(t)$ を用い、グリューリング近似における $(\log \widehat{\Xi})^{-1}$ 要素を介した時間スケール推定の改善を実施する。
• 標準的な反発散度推定を、余分な対数的損失を避けるために対称的反発散度形式に置き換える。
• 周波数-エネルギー段階更新則における対数的パワー $A$ の調整により正則性指数を最適化し、Hölder推定における主要定数 $B$ を低減する。
• 繰り返しにおける高周波数ノルムを制御するため、Littlewood-Paley 理論を適用し、スケール間で一様な制御を保証する。
• 次式の形の洗練された正則性推定を導出する：$|v(t,x+\Delta x) - v(t,x)| \leq C|\Delta x|^{1/3 - B\sqrt{\frac{\log\log|\Delta x|^{-1}}{\log|\Delta x|^{-1}}}}$ で $B=4/3$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸統合は、臨界指数より固定されたギャップがない状態で、正則性が $C^{1/3}$ に任意に近い 3D 不可縮圧 Euler 方程式の弱解を構成可能か？
• RQ2 繰り返しにおける周波数ベースのパワー損失が排除された場合、凸統合で達成可能な最良の正則性は何か？
• RQ3 エネルギー散逸型解の構造は、臨界正則性 $1/3$ において、特に間歇的性およびスケーリング則とどのように関係するか？
• RQ4 空間時間測度がゼロである特異的台を持つ解がエネルギーを散逸する場合、$p>3$ の場合に Kolmogorov-Obukhov スケーリングを満たせるか？
• RQ5 時間スケーリングおよび周波数エネルギー段階における対数補正の役割は、凸統合解の正則性向上にどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿は、$v \in \bigcap_{\alpha < 1/3} C_{t,x}^\alpha$ を満たす弱解 $v$ を 3D 不可縮圧 Euler 方程式に対して構成し、臨界正則性閾値におけるエネルギー保存が成り立たない可能性を示している。
• 解は鋭い Hölder 推定を満たす：$|v(t,x+\Delta x) - v(t,x)| \leq C|\Delta x|^{1/3 - B\sqrt{\frac{\log\log|\Delta x|^{-1}}{\log|\Delta x|^{-1}}}}$ で $B = 4/3$ であり、以前の $B = 2\sqrt{2/3}$ よりも向上している。
• 改善された時間スケール推定により、グリューリング近似における対数的損失が $\log \widehat{\Xi}$ の因子で低減され、反復の収束性および正則性制御が向上している。
• 周波数-エネルギー段階更新則は $e_R' \sim (\log \widehat{\Xi})^{3/2} \frac{e_v^{1/2} e_R^{1/2}}{N}$ に洗練され、対数的パワーが増加し、正則性ギャップが低減されている。
• エネルギー散逸型解で、空間時間測度がゼロである特異的台を持つものが、任意の $p > 3$ に対して Kolmogorov-Obukhov スケーリングを満たせないことが証明された。
• 新規手法により、従来見えなかった凸統合の障壁が特定された：周波数更新における対数的パワー $A = 3/2$ が、正則性定数 $B$ を最小化するのに最適である。