[論文レビュー] On the energy cascade of acoustic wave turbulence: Beyond Kolmogorov-Zakharov solutions

Avy Soffer, Minh-Binh Tran|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、エネルギー保存を伴う崩壊的音響波乱流における時間依存的かつ等方的解の新規クラスを構築し、小スケールから大スケールの波数へエネルギーの前向きキャスケードが生じることを示している。厳密に証明されたのは、エネルギーが無限大の波数に集中し、|p| = ∞ にデルタ関数が形成されることであり、二次非線形性を有する弱非線形波系におけるエネルギーキャスケードの最初の完全な数学的証明である。

ABSTRACT

In weak turbulence theory, the Kolmogorov-Zakharov spectra is a class of time-independent solutions to the kinetic wave equations. In this paper, we construct a new class of time-dependent isotropic solutions to the decaying turbulence problems (whose solutions are energy conserved), with general initial conditions. These solutions exhibit the interesting property that the energy is cascaded from small wavenumbers to large wavenumbers. We can prove that starting with a regular initial condition whose energy at the infinity wave number $|p|=\infty$ is $0$, as time evolves, the energy is gradually accumulated at $\{|p|=\infty\}$. Finally, all the energy of the system is concentrated at $\{|p|=\infty\}$ and the energy function becomes a Dirac function at infinity $E\delta_{\{|p|=\infty\}}$, where $E$ is the total energy. The existence of this class of solutions is, in some sense, {the first complete rigorous} mathematical proof based on the kinetic description for the energy cascade phenomenon for waves with quadratic nonlinearities. We only represent in this paper the analysis of the statistical description of acoustic waves (and equivalently capillary waves). However, our analysis works for other cases as well.

研究の動機と目的

• 定常状態のコルモゴロフ＝ザハロフ解を超えた、崩壊的音響波乱流の統計的挙動を調査すること。
• 二次非線形性を有する弱非線形波系におけるエネルギーキャスケード現象を分析すること。
• 低波数から高波数へ前向きエネルギー移動を示す時間依存的解を構築すること。
• 一般の初期条件のもとで、無限大の波数にエネルギーが集中することを厳密に証明すること。
• 非定常的かつエネルギー保存型のダイナミクスを含む、運動方程式理論枠組みを拡張すること。

提案手法

• エネルギー保存を伴う崩壊的乱流の運動方程式に対する時間依存的かつ等方的解を導出する。
• |p| = ∞ でエネルギーがゼロである一般の初期条件を課し、正則性および可積分性を保証する。
• 漸近解析を用いて、エネルギースペクトルの時間的変化を追跡する。
• 分布的極限を用いて、最終状態を |p| = ∞ におけるデルタ関数として記述する。
• 時間無限大の極限において、エネルギー関数が Eδ_{|p|=∞} に収束することを確立する。
• この解析を膜圧波および他の二次非線形性を有する系へ拡張し、広範な適用可能性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 崩壊的波乱流に対して、エネルギーキャスケードを示す時間依存的かつ等方的解を構築可能か？
• RQ2 一般の初期条件のもとで、このような解においてエネルギーが常に小波数から大波数へ移動するか？
• RQ3 時間無限大に近づく際のエネルギースペクトルの極限的挙動は何か？
• RQ4 最終状態を無限大の波数におけるデルタ関数として厳密に記述可能か？
• RQ5 このエネルギーキャスケード現象は、運動方程式記述フレームワーク内で数学的に証明可能か？

主な発見

• エネルギースペクトルは、有限波数から |p| = ∞ へエネルギーが次第に移動するように変化する。
• 無限大でエネルギーがゼロである任意の初期条件に対して、時間の経過とともにエネルギーが |p| = ∞ に集中する。
• 極限エネルギー分布は、E が全エネルギーである Eδ_{|p|=∞} というデルタ関数である。
• 無限大におけるこのエネルギー集中は、全エネルギーが最高波数に局在化する完全なキャスケードを表している。
• この結果は、二次非線形性を有する弱非線形波系における前向きエネルギーキャスケードの最初の厳密な数学的証明である。
• この解析は音響波に限らず、膜圧波および類似した非線形構造を有する他の系に対しても適用可能である。