[論文レビュー] On the Energy Decay Rate of the Fractional Wave Equation on $\mathbb{R}$ with Relatively Dense Damping

Walton Green|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}$ 上の減衰付き分数ラプラシアン波動方程式のエネルギーの鋭い減衰率を確立し、$0 < s < 2$ の場合に多項式的減衰、$s \geq 2$ の場合に指数的減衰を示している。相対的に稠密な減衰条件のもとで、$s < 2$ の場合に指数的減衰が不可能であることを示すことが主な貢献であり、$s = 2$ が臨界閾値であることを確立している。

ABSTRACT

We establish upper bounds for the decay rate of the energy of the damped fractional wave equation when the averages of the damping coefficient on all intervals of a fixed length are bounded below. If the power of the fractional Laplacian, $s$, is between 0 and 2, the decay is polynomial. For $s \ge 2$, the decay is exponential. Second, we show that our assumption on the damping is necessary for the energy to decay exponentially.

研究の動機と目的

• 減衰付き分数ラプラシアン波動方程式のエネルギーの減衰率を、最小限の減衰仮定のもとで特定すること。
• 多項式的減衰と指数的減衰を分ける分数ラプラシアンの指数 $s$ の閾値を同定すること。
• 減衰関数 $\gamma$ が正の測度の集合上で消える場合に、$s < 2$ では指数的減衰が不可能であることを証明すること。
• エネルギーの減衰に、相対的に稠密な減衰条件が必要であることを確立し、既存の結果を一般化すること。

提案手法

• 生成作用素のスペクトル的性質と半群の指数的減衰を結びつけるために、Gearhart-Prussの定理の使用。
• 解のリゾルベント推定を用いて多項式的減衰率を特徴付けるために、Borichev-Tomilovの定理の適用。
• 正の密度をもつ集合上の $L^2$ ノルムを制御するために、一般化されたPaneah-Logvinenko-Seredaの不確定性原理の使用。
• フーリエ解析と不確定性原理を用いて、分数ラプラシアンの重要なリゾルベント推定の導出。
• 減衰係数 $\gamma$ と周波数局在化を含むスペクトル不等式に帰着することで、減衰問題の簡略化。
• 周波数局在関数と平行移動不変性を用いて、指数的減衰のための $\gamma$ に必要な条件を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 減衰が相対的に稠密であるとき、$\mathbb{R}$ 上の減衰付き分数ラプラシアン波動方程式のエネルギーの鋭い減衰率は何か？
• RQ2 集合 $\{x: \gamma(x) \geq \varepsilon\}$ が相対的に稠密であるという条件が、エネルギーの減衰に対して十分かつ必要であるか？
• RQ3 多項式的減衰と指数的減衰を分ける、$s$ の臨界値は何か？
• RQ4 減衰関数 $\gamma$ が正の測度の集合上でゼロである場合、$s < 2$ であっても指数的減衰が成立するか？
• RQ5 フーリエ変換の不確定性原理は、分数波動方程式のスペクトル推定を証明するためにどのように役立つか？

主な発見

• $0 < s < 2$ の場合、相対的に稠密な減衰条件のもとで、エネルギーは $O((1+t)^{-s/(4-2s)})$ のレートで多項式的減衰する。
• $s \geq 2$ の場合、同じ減衰条件下でエネルギーは指数的に、すなわち $O(e^{-\omega t})$ で減衰する。
• 相対的に稠密な減衰条件（すなわち、$\inf_a \int_{a-R}^{a+R} \gamma(x)\,dx > 0$）は、エネルギーの減衰に対して十分かつ必要である。
• $m(\{\gamma = 0\}) > 0$ である場合、$s < 2$ では指数的減衰は成立しない。これにより $s = 2$ が鋭い閾値であることが確立される。
• 不確定性原理と周波数局在関数を用いた背理法により、減衰条件の必要性が証明されている。
• 証明は、Paneah-Logvinenko-Seredaの定理から導かれたリゾルベント推定に依拠しており、スペクトルの有界性と減衰率を結びつけている。