[論文レビュー] On the energy-momentum current of the electromagnetic field in a pre-metric axiomatic approach. I

Friedrich W. Hehl, Yuri N. Obukhov|ArXiv.org|Mar 7, 2001

Relativity and Gravitational Theory参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、微分形式とフレーム場を用いて、計量を必要とせず、公理的でない形で電磁エネルギー運動量流 ${}^{\rm k}\bar{\Sigma}_{\alpha}$ を導入する。ローレンツ力密度から導出し、第4の公理として提示することで、${}^{\rm k}\Sigma_{\alpha}$ がトレースレスであり、電磁双対性に対して不変であることを示した。マクスウェル＝ローレンツ時空関係 $H = \sqrt{\varepsilon_0/\mu_0}\,{}^\star F$ を適用すると、この流は対称的となり、独立成分が9個の標準的な対称エネルギー運動量テンソルが得られる。

ABSTRACT

We complete a metric-free axiomatic framework for electrodynamics by introducing the appropriate energy-momentum current Sigma of the electromagnetic field. We start from the Lorentz force density and motivate the form of Sigma. Then we postulate it (fourth axiom) and discuss its properties. In particular, it is found that Sigma is traceless and invariant under an electric-magnetic reciprocity transformation. By using the Maxwell-Lorentz spacetime relation (fifth axiom), Sigma is also shown to be symmetric, that is, it has 9 independent components

研究の動機と目的

• 古典電磁気学の前計量的公理的枠組みを完成させるために、電磁場の整合的なエネルギー運動量流を導入すること。
• 計量や接続を仮定せずに、ローレンツ力密度からエネルギー運動量流を導出すること。
• 導出された流がトレースレスであり、電磁双対変換に対して不変であることを確立すること。
• マクスウェル＝ローレンツ時空関係を課した際に、流が対称的になることを示し、標準的なエネルギー運動量テンソルを回復すること。

提案手法

• 部分積分とリー微分の恒等式を用いて、ローレンツ力密度を完全形式として表現し、エネルギー運動量流 ${}^{\rm k}\Sigma_{\alpha}$ を導出する。
• 流を第4の公理として導入する：${}^{\rm k}\Sigma_{\alpha} = \frac{1}{2}\left[F \wedge (e_{\alpha} \rfloor H) - H \wedge (e_{\alpha} \rfloor F)\right]$。これはローレンツ力と保存則との整合性に基づく。
• 非同次および同次マクスウェル方程式（$dJ=0$, $dF=0$）を用いて、保存されない項を消去し、保存則を満たす流に分離する。
• マクスウェル＝ローレンツ時空関係 $H = \sqrt{\varepsilon_0/\mu_0}\,{}^\star F$ を適用して計量を導入し、流の対称性を証明する。
• ホッジスター双対性およびフレーム場の性質を含む微分形式の恒等式を用いて、$\vartheta_{[\beta} \wedge {}^\rm k\Sigma_{\alpha]} = 0$ を示し、対称性を示す。
• テンソル $^\rm kT_{\alpha\beta} = {}^\star(\vartheta_\beta \wedge {}^\rm k\Sigma_\alpha)$ を用いてエネルギー運動量流を表現し、トレースレス性および対称性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電磁気学の計量化されず、公理的でない枠組みにおいて、電磁エネルギー運動量流を一貫してどのように導出できるか？
• RQ2 エネルギー運動量流がローレンツ力と保存則に整合するためには、どのような性質を満たすべきか？
• RQ3 導出された流は電磁双対変換に対して不変か？
• RQ4 計量を仮定せずに、流が対称的であることを示せるか、それとも対称性の確立にはマクスウェル＝ローレンツ時空関係が必要か？
• RQ5 時空関係を課した場合、流は真空中電磁気学における標準的な対称エネルギー運動量テンソルに還元されるか？

主な発見

• エネルギー運動量流 ${}^\rm k\Sigma_{\alpha} = \frac{1}{2}\left[F \wedge (e_{\alpha} \rfloor H) - H \wedge (e_{\alpha} \rfloor F)\right]$ は、前計量的枠組みにおける第4の公理として導出され、ローレンツ力密度と整合的であることが保証される。
• 流はトレースレスであり、$\vartheta^{\alpha} \wedge {}^\rm k\Sigma_{\alpha} = 0$ を満たす。これはエネルギー運動量保存則の基本的要件である。
• 流は電磁双対性（電磁的交換）変換に対して不変であり、電磁場構造における深い対称性を示している。
• マクスウェル＝ローレンツ時空関係 $H = \sqrt{\varepsilon_0/\mu_0}\,{}^\star F$ を適用すると、流は対称的となり、すなわち $\vartheta_{[\beta} \wedge {}^\rm k\Sigma_{\alpha]} = 0$ となる。これにより、独立成分が9個であることが確認される。
• 対応するエネルギー運動量テンソル $^\rm kT_{\alpha\beta} = {}^\star(\vartheta_\beta \wedge {}^\rm k\Sigma_\alpha)$ はトレースレスかつ対称的であり、真空中電磁気学における標準形と一致する。
• 流の対称性は計量が存在しないと定義できない。これはホッジスター作用素および時空関係に依存するためであり、そのため「悪魔の対称性（bastard symmetry）」と呼ばれる。