[論文レビュー] On the enumeration of lattice $3$-polytopes

Mónica Blanco, Francisco Santos|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、サイズ11までの一様な幅1より大きいラティス3次元多面体を、スパイク型、ボックス型、グルーリング型の3つの構造的カテゴリーに分け、完全な分類を提示する。すべてのこのような多面体がこれらのタイプのいずれかに属することを証明し、サイズ8までの一様なペア和多面体の完全な計算的列挙を可能にし、分類を完成させる。

ABSTRACT

A lattice $3$-polytope is a polytope $P$ with integer vertices. We call size of $P$ the number of lattice points it contains, and width of $P$ the minimum, over all integer linear functionals $f$, of the length of the interval $f(P)$. In a previous paper we have shown that all but finitely many lattice $3$-polytopes of a given size have width one, which opens the possibility of enumerating those of width larger than one. There is none of size 4 (White, 1964) and those of sizes five and six were classified in our previous papers. In this paper we prove that every lattice $3$-polytope $P$ of width larger than one and size at least seven falls into one of the following three categories: - It projects in a very specific manner to one of a list of seven particular $2$-polytopes. We call $3$-polytopes of this type \emph{spiked}, and we describe them explicitly. - All except three of the lattice points in $P$ are contained in a rational parallelepiped of width one with respect to every facet. We call these polytopes \emph{boxed}. They have size at most 11 and we have completely enumerated them. - $P$ has (at least) two vertices $u$ and $v$ such that, when removing each of them, the width is still larger than one. Polytopes of this type can be all obtained gluing smaller polytopes of width larger than one. This allows for a computational enumeration of all lattice $3$-polytopes of width larger than one up to any given size. We have completely enumerated $3$-polytopes of width larger than one and size up to eleven. In particular, this implies the complete classification of distinct-pair-sum (or dps, for short) $3$-polytopes, which have size at most eight, of width larger than one.

研究の動機と目的

• 与えられたサイズまでの一様な幅1より大きいラティス3次元多面体をすべて分類すること。
• サイズ4〜6の既存の研究に基づき、サイズ6を越えてラティス3次元多面体の分類を拡張すること。
• 一様ペア和（dps）3次元多面体の完全な列挙を解決すること。これらはサイズが最大8であることが知られている。
• 高幅ラティス3次元多面体を、スパイク型、ボックス型、グルーリング型の3つの標準的タイプに構造的に分解すること。
• 幾何学的および組合せ論的性質を特徴づけることで、サイズ11までにわたるすべてのこのような多面体の計算的列挙を可能にすること。

提案手法

• 幾何学的および射影的性質に基づき、幅 >1 のラティス3次元多面体をスパイク型、ボックス型、グルーリング型の3つの構造的タイプに分類する。
• スパイク型多面体を、7つの2次元ラティス多面体のいずれかに特定の方法で射影する多面体として定義し、明示的な記述を可能にする。
• ボックス型多面体を、各面に対して幅1の有理平行多面体に含まれるが3点を除くすべての格子点を持つ多面体として特徴づけ、サイズは最大11とする。
• 少なくとも2つの頂点を削除しても幅 >1 を保つような多面体に対して、グルーリング構成を用い、再帰的列挙を可能にする。
• 構造的分解を活用して計算的列挙を実装し、サイズ11まで完全に列挙することを保証する。
• 分類を応用して、サイズ ≤8 に制限される一様ペア和（dps）3次元多面体を完全に列挙する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズ7以上の一様な幅1より大きいラティス3次元多面体を特徴づける構造的タイプは何か？
• RQ2 幾何学的および組合せ論的基準を用いて、幅 >1 のラティス3次元多面体を体系的に分解・列挙する方法は何か？
• RQ3 ボックス型ラティス3次元多面体の最大サイズは何か？ また、それらは完全に列挙可能か？
• RQ4 幅 >1 のすべてのラティス3次元多面体は、より小さい同様の多面体をグルーリング操作で生成できるか？
• RQ5 一様ペア和（dps）3次元多面体の完全な分類は何か？ そして、どのサイズまで達成可能か？

主な発見

• 幅 >1 かつサイズ ≥7 のすべてのラティス3次元多面体は、スパイク型、ボックス型、またはグルーリング型のいずれかに属する。
• ボックス型ラティス3次元多面体のクラスはサイズが最大11であり、本研究で完全に列挙された。
• 幅 >1 のラティス3次元多面体の完全な列挙はサイズ11まで達成され、この範囲での完全な分類が得られた。
• 一様ペア和（dps）3次元多面体の分類は完全に解決され、サイズが最大8であることが知られており、列挙に含まれている。
• スパイク型、ボックス型、グルーリング型への構造的分解により、サイズ11までにわたるすべてのこのような多面体の完全な計算的列挙が可能になった。
• 本稿では、サイズ4のラティス3次元多面体に幅 >1 となるものがないことが確立され、従来の結果を確認し、分類フレームワークの基盤を固めた。