[論文レビュー] On the Enumeration of Minimal Dominating Sets and Related Notions

Mamadou Moustapha Kanté, Vincent Limouzy+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 32被引用数 85

ひとこと要約

本稿では、グラフにおける最小支配集合の列挙問題（Dom-Enum）と超グラフにおける最小横断集合の列挙問題（Trans-Enum）の間で等価性を確立し、これらが互いに多項式時間で帰約可能であることを証明している。P6-free弦的グラフにおけるDom-Enumの出力多項式時間アルゴリズムを、完成化技術を用いて提示し、最小連結支配集合が最小分離集合の横断集合に対応することを示し、最小分離集合の数が多項式的に有界なクラスでは出力多項式時間アルゴリズムが可能であることを明らかにした。

ABSTRACT

A dominating set $D$ in a graph is a subset of its vertex set such that each vertex is either in $D$ or has a neighbour in $D$. In this paper, we are interested in the enumeration of (inclusion-wise) minimal dominating sets in graphs, called the Dom-Enum problem. It is well known that this problem can be polynomially reduced to the Trans-Enum problem in hypergraphs, i.e., the problem of enumerating all minimal transversals in a hypergraph. Firstly we show that the Trans-Enum problem can be polynomially reduced to the Dom-Enum problem. As a consequence there exists an output-polynomial time algorithm for the Trans-Enum problem if and only if there exists one for the Dom-Enum problem. Secondly, we study the Dom-Enum problem in some graph classes. We give an output-polynomial time algorithm for the Dom-Enum problem in split graphs, and introduce the completion of a graph to obtain an output-polynomial time algorithm for the Dom-Enum problem in $P_6$-free chordal graphs, a proper superclass of split graphs. Finally, we investigate the complexity of the enumeration of (inclusion-wise) minimal connected dominating sets and minimal total dominating sets of graphs. We show that there exists an output-polynomial time algorithm for the Dom-Enum problem (or equivalently Trans-Enum problem) if and only if there exists one for the following enumeration problems: minimal total dominating sets, minimal total dominating sets in split graphs, minimal connected dominating sets in split graphs, minimal dominating sets in co-bipartite graphs.

研究の動機と目的

• Dom-Enum問題とTrans-Enum問題の計算的等価性を確立すること。
• スプリットグラフにおけるDom-Enumの出力多項式時間アルゴリズムを開発し、それをP6-free弦的グラフに完成化技術を用いて拡張すること。
• グラフにおける最小連結支配集合と最小分離集合の関係を特定すること。
• 最小連結支配集合の列挙に於いて出力多項式時間アルゴリズムが存在するグラフクラスを同定すること。
• さまざまな支配集合列挙問題の間の複雑度階層を明確化すること。

提案手法

• 本稿では、Trans-EnumからDom-Enumへの多項式時間帰約を証明し、両問題の等価性を確立している。
• P6-free弦的グラフを最小支配集合を保存する形でスプリットグラフに変換するためのグラフ完成化の概念を用いている。
• スプリットグラフにおけるDom-Enumの既知の出力多項式時間アルゴリズムを完成化されたグラフに適用し、線形遅延と多項式領域を保証している。
• グラフにおける最小連結支配集合は、その最小分離集合超グラフの最小横断集合に丁度一致することを示している。
• 最小分離集合の数が多項式的に有界なグラフクラスにおいて、CDom-Enum問題をTrans-Enumに帰約している。
• 構造的グラフ理論と超グラフ双対性を用いて、支配集合問題と横断集合列挙を関連付けている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dom-Enum問題は、超グラフにおけるTrans-Enum問題と多項式的に等価か？
• RQ2 スプリットグラフにおけるDom-Enumの出力多項式時間アルゴリズムは、より広いグラフクラスへ拡張可能か？
• RQ3 グラフにおける最小連結支配集合と最小分離集合の関係は何か？
• RQ4 どのグラフクラスが最小連結支配集合の列挙に於いて出力多項式時間アルゴリズムを備えているか？
• RQ5 CDom-Enum問題はDom-Enum問題よりも厳密に難しいか？

主な発見

• Dom-Enum問題とTrans-Enum問題は多項式的に等価である：一方に出力多項式時間アルゴリズムが存在するならば、他方も存在する。
• スプリットグラフにおけるDom-Enumの出力多項式時間アルゴリズムが存在し、線形遅延と多項式領域で実行可能である。
• P6-free弦的グラフにおけるDom-Enumの出力多項式時間アルゴリズムは、スプリットグラフへの完成化により達成され、遅延O(n + m)、領域O(n²)の複雑度を示している。
• グラフにおける最小連結支配集合は、その最小分離集合超グラフの最小横断集合に丁度一致する。
• 最小分離集合の数が多項式的に有界な任意のグラフクラスにおいて、CDom-Enum問題はTrans-Enumに帰約可能であり、出力多項式時間アルゴリズムの実現が可能である。
• CDom-Enum問題はDom-Enum問題よりも厳密に難しい。一般にはDom-Enumに帰約できないが、スプリットグラフなどの特定クラスではTrans-Enumと等価である。