[論文レビュー] On the enumeration of rational plane curves with tangency conditions

Charles Cadman|ArXiv.org|Sep 28, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、滑らかな円錐曲線 $E \subset \mathbb{P}^2$ を通る指定された点、$E$ 上の指定および未指定の点における所定の接合条件（1次および2次）を満たし、$\mathbb{P}^2$ 内の追加の一般点を通る有理平面曲線の個数を数える再帰的公式を開発する。$\mathbb{P}^2_{E,2}$ と呼ばれるスタックを、$E$ に沿って平方根構成を施すことにより構成し、その上へのねじれ安定写像を用いることで、著者はコンツェビッチの再帰を一般化し、円錐曲線に対するカポラーゾ＝ヘイアーズ型の公式を拡張し、この設定におけるグロモフ＝ウィッテン不変量の数え上げ的性質を証明する。

ABSTRACT

We use twisted stable maps to answer the following question. Let E\subset P^2 be a smooth cubic. How many rational degree d curves pass through a general points of E, have b specified tangencies with E and c unspecified tangencies, and pass through 3d-1-a-2b-c general points of P^2? The answer is given as a generalization of Kontsevich's recursion. We also investigate more general enumerative problems of this sort, and prove an analogue of a formula of Caporaso and Harris.

研究の動機と目的

• 滑らかな円錐曲線 $E$ に対して、指定および未指定の接合条件を満たす有理曲線の個数を数える、数え上げ問題を解くこと。
• 一般点を通る有理曲線に対するコンツェビッチの再帰を、$E$ との接合制約を含める形に一般化すること。
• $\mathbb{P}^2_{E,2}$ スタック上のグロモフ＝ウィッテン不変量が、所定の接触次数を持つ曲線を数えるものであることを確立すること。
• 直線や二次曲線の場合と同様に、滑らかな平面円錐曲線との接触に関するカポラーゾ＝ヘイアーズの公式を一般化すること。
• このような曲線の個数を計算する再帰的アルゴリズムを提供し、マップルプログラムによる実装を可能とすること。

提案手法

• 本稿では、滑らかな円錐曲線 $E \subset \mathbb{P}^2$ に沿って平方根構成を施すことにより得られる、デリーニュ＝マクマーフォソンスタック $\mathbb{P}^2_{E,2}$ へのねじれ安定写像を用いる。
• スタック上の $\mu_2$-作用を用いて接触型を定義し、それが曲線が $E$ とのマークされた点でどの程度接するかを符号化する。
• 数え上げは、偶数次接触を持つ写像がスタックに引き上げられることを応用して、$\mathbb{P}^2_{E,2}$ へのねじれ安定写像のモジュライ空間上の交点数の計算に還元される。
• 変形理論の議論により、期待次元を持つ成分のみがグロモフ＝ウィッテン不変量に寄与することを示し、数え上げ的性質を保証する。
• 再帰は、写像のノード分離の挙動を解析し、被覆曲線のノード数に関する帰納法を用いて導出される。
• 主な技術的道具は、モジュライスタック上の評価写像が一般に全射であることを示し、期待次元でない成分が不変量に寄与しないことの証明である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな円錐曲線 $E$ 上の $a$ 個の一般点、$E$ における $b$ 個の指定された2次接合条件、$c$ 個の未指定の2次接合条件、および $\mathbb{P}^2$ 内の $3d-1-a-2b-c$ 個の一般点を通る有理曲線のうち、次数 $d$ のものの個数は？
• RQ2 一般点を通る有理曲線に対するコンツェビッチの再帰を、滑らかな平面円錐曲線との接合条件を含める形に一般化できるか？
• RQ3 指定された接触次数を持つ曲線を数えるグロモフ＝ウィッテン不変量は、数え上げ的である、すなわち実際にそのような曲線の個数に等しいか？
• RQ4 $\mathbb{P}^2_{E,2}$ へのねじれ安定写像のモジュライ空間の構造は何か？また、古典的数え上げ幾何学とどのように関係しているか？
• RQ5 直線や二次曲線の場合と同様に、滑らかな平面円錐曲線との接触に関するカポラーゾ＝ヘイアーズ型の再帰を確立できるか？

主な発見

• 指定された接合条件および点条件を満たす有理次数 $d$ の曲線の個数 $N_d(a,b,c)$ は、コンツェビッチの公式を拡張する一般化された再帰によって与えられる。
• $\mathbb{P}^2_{E,2}$ スタック上のグロモフ＝ウィッテン不変量は数え上げ的である。これは、幾何的制約を満たす実際に存在する曲線を数えていることを意味する。
• 再帰は、ねじれ安定写像の変形理論を解析し、被覆曲線のノード数に関する帰納法を用いることで導出される。
• ねじれ安定写像のモジュライスタック上の評価写像は一般に全射であり、期待次元条件が数え上げ的性質を保証するのに十分である。
• 指定された接点と未指定の接点の両方を扱う公式であり、指定された接触は $E$ 上の固定点を要し、未指定の接触は変動を許容する。
• 再帰を実装するマップルプログラムは著者のホームページから入手可能であり、小規模な $d$ に対して $N_d(a,b,c)$ の明示的計算が可能である。