[論文レビュー] On the equidistribution of totally geodesic submanifolds in compact locally symmetric spaces and application to boundedness results for negative curves and exceptional divisors

Vincent Koziarz, Julien Maubon|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、コンpactなヘルミート局所的に対称な空間（非コンパクト型）における完全測地的部分多様体の等分布性を確立し、特に負の自己交叉を持つ曲線や例外的除集合を含む、そのような空間上には例外的完全測地的除集合が有限個しか存在しないことを証明する。この結果により、シュミラ面における有界な否定性予想が解決され、2次元ボールまたは双ディスクのコンパクト商面上に負の自己交叉を持つ完全測地的曲線が有限個しか存在しないことが示される。

ABSTRACT

We prove an equidistribution result for totally geodesic submanifolds in a compact locally symmetric space. In the case of Hermitian locally symmetric spaces, this gives a convergence theorem for currents of integration along totally geodesic subvarieties. As a corollary, we obtain that on a complex surface which is a compact quotient of the bidisc or of the 2-ball, there is at most a finite number of totally geodesic curves with negative self intersection. More generally, we prove that there are only finitely many exceptional totally geodesic divisors in a compact Hermitian locally symmetric space of the noncompact type of dimension at least 2.

研究の動機と目的

• コンパクトなヘルミート局所的に対称な空間（有限体積型）における完全測地的部分多様体の等分布性を確立すること。
• 2次元ボールや双ディスクの商における完全測地的曲線に関して、シュミラ面における有界な否定性予想を解決すること。
• 複素次元 ≥2 のコンパクトなヘルミート局所的に対称な空間において、例外的完全測地的除集合が有限個しか存在しないことを証明すること。
• 可約対称空間および局所的に分解不能な除集合に対しても、有限性結果を拡張すること。
• 負の曲線の特定のケースにとどまらず、一般に適用可能な、現在の収束および等分布技法を用いた一般的枠組みを提供すること。

提案手法

• 有限体積を持つ局所的に対称空間における完全測地的部分多様体に沿った積分測度の等分布定理を用いる。
• 捩れのない格子が等長群に作用する際、完全測地的部分多様体に関連する確率測度の収束を適用する。
• コホロジー類の漸近的挙動を解析するため、H^{1,1}(X,R) と H^{n-1,n-1}(X,R) 間の非退化性ペアリングを用いる。
• グラーヴァルの基準を用いて、例外的除集合と滑らかな曲面の交わりから得られる曲線の負の自己交叉を導出する。
• 正規化されたコホロジー類の極限が非自明な (1,1)-形式に収束することを仮定し、その収束の矛盾を導く背理法を用いる。
• ケーラー形式および体積形式が群作用に関して不変であることを利用し、交差数における正性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元ボールまたは双ディスクのコンパクト商面上に、負の自己交叉を持つ完全測地的曲線が有限個しか存在しないか？
• RQ2 幾何学的およびコホロジー的技法を用いて、シュミラ面における有界な否定性予想を検証できるか？
• RQ3 完全測地的部分多様体の等分布性は、高次元のヘルミート局所的に対称な空間における例外的除集合の有限性を示唆するか？
• RQ4 完全測地的除集合が局所的因子でないことを保証する条件は何か？ そして、その性質は例外的除集合の有限性にどのように影響するか？
• RQ5 無限個の完全測地的除集合が存在する場合、正規化されたコホロジー類の収束が矛盾を引き起こすか？

主な発見

• 2次元ボールまたは双ディスクの商である任意のコンパクト複素曲面上に、負の自己交叉を持つ完全測地的曲線は有限個しか存在しない。
• 複素次元 ≥2 のコンパクトなヘルミート局所的に対称な空間において、例外的完全測地的除集合は有限個しか存在しない。
• 無限個の完全測地的除集合が存在すると仮定した場合、正規化されたコホロジー類は、非自明な閉じた (1,1)-形式に収束する。
• 交差数の推移的推移の見積もりから矛盾が生じる：交差数の極限はゼロに近づくが、極限形式が非自明であるため、下界は正のまま保たれる。
• 標準類 [K_X] は非常に正であり、G-不変なケーラー形式によって表され、体積およびコホロジー計算における正性を保証する。
• 局所的に分解可能な除集合（すなわち、曲線との積として表される）は、非可約な局所的に対称空間では存在できない。これは、格子の非可約性に反するためである。