[論文レビュー] On the equivalence of linear sets

Bence Csajbók, Corrado Zanella|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 8被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、LavrauwとVan de Voorde（2010）の定理1.3で主張されているように、射影的配置間の同一形（collineation）の存在が、t = 5 または t > 6 のとき PG(1, qt) 内の擬正則型線形集合の同値性に必要であるとは限らないことを示している。正規部分幾何と不変中心からの射影を用いた明示的反例を構成することで、著者らは、そのような同一形が存在しなくても線形集合の同値性が成立しうることを示し、実際にその条件が必要となる線形集合のクラスを同定している。

ABSTRACT

Let $L$ be a linear set of pseudoregulus type in a line $\ell$ in $\Sigma^*=\mathrm{PG}(t-1,q^t)$, $t=5$ or $t>6$. We provide examples of $q$-order canonical subgeometries $\Sigma_1,\, \Sigma_2 \subset \Sigma^*$ such that there is a $(t-3)$-space $\Gamma \subset \Sigma^*\setminus (\Sigma_1 \cup \Sigma_2 \cup \ell)$ with the property that for $i=1,2$, $L$ is the projection of $\Sigma_i$ from center $\Gamma$ and there exists no collineation $\phi$ of $\Sigma^*$ such that $\Gamma^{\phi}=\Gamma$ and $\Sigma_1^{\phi}=\Sigma_2$. Condition (ii) given in Theorem 3 in Lavrauw and Van de Voorde (Des. Codes Cryptogr. 56:89-104, 2010) states the existence of a collineation between the projecting configurations (each of them consisting of a center and a subgeometry), which give rise by means of projections to two linear sets. It follows from our examples that this condition is not necessary for the equivalence of two linear sets as stated there. We characterize the linear sets for which the condition above is actually necessary.

研究の動機と目的

• LavrauwとVan de Voorde（2010）の定理1.3における条件(ii)の必要性に挑戦すること。この条件は、中心と部分幾何を両方保存する同一形が、線形集合の同値性に必要であるとしている。
• 2つの線形集合が射影によって同値であるが、それらの射影的配置間に対応する同一形が存在しないような明示的反例を構成すること。
• 定理1.3における同一形条件が実際に必要となる線形集合のクラスを同定すること。
• 有限射影空間内における擬正則型線形集合の構成における、体還元と正規部分幾何の役割を分析すること。
• 特に t = 5 または t > 6 のとき、擬正則型線形集合が部分幾何の射影として生じる幾何的・代数的条件を明確にすること。

提案手法

• t = 5 または t > 6 のとき、PG(t−1, qt) 内に2つの正規部分幾何 Σ₁ と Σ₂ を構成し、共通の中心 Γ を通じて同じ擬正則型線形集合 L に射影する。
• PG(t−1, qt) 内の点と PG(rt−1, q) 内の (t−1)-次元部分空間を結ぶ体還元写像 Fr,t,q を用い、線形集合を Fq-部分空間 S に対する B(S) として特徴付ける。
• 中心 Γ から軸 Λ への射影 pΓ,Λ(Σi) を定義し、Γβ = Γ かつ Σ₁β = Σ₂ を満たす同一形 β が存在しなくても、L = pΓ,Λ(Σ₁) = pΓ,Λ(Σ₂) が成り立つことを示す。
• PG(4, q⁵) および PG(rt−1, q) 内の半線形写像と同一形を用いて、部分幾何の構造とその自己同型による像の構造を分析する。
• [5] の結果を用い、Qt−1,q に含まれる線形部分空間を記述し、その結果、所定のタイプの同一形が存在しないことを示す。
• 条件(A)を導入し、定理1.3における (i) ⇒ (ii) の含意が成り立つための必要十分条件とし、t = 5 または t > 6 のとき、散在的擬正則型線形集合に対してはこれが成立しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの線形集合が射影によって同値である場合、それらの中心と部分幾何を両方保存する同一形の存在は、必要であるか？
• RQ2 PG(1, qt) 内の2つの擬正則型線形集合が射影によって同値である場合、それらの射影的配置が互いに同一形で写されない場合でも、同値であることは可能か？
• RQ3 定理1.3における同一形条件が実際に必要となる幾何的または代数的条件は何か？
• RQ4 正規部分幾何の性質とその射影が、PG(rt−1, q) 内のデザルグス系の構造にどのように関係するか？
• RQ5 どの擬正則型線形集合に対して条件(A)が成り立ち、それがこのような集合の分類においてどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿は、PG(4, q⁵) 内で、2つの擬正則型線形集合が射影によって同値であるが、それらの中心と部分幾何を対応させる同一形が存在しない明示的反例を構成している。
• 著者らは、定理1.3における条件(ii) —— 中心と部分幾何を両方保存する同一形の存在を要請するもの —— が線形集合の同値性に必要ではないことを証明しており、元の主張と矛盾する。
• t = 5 または t > 6 のとき、PG(1, qt) 内の擬正則型線形集合に対して、条件(A)が成り立たないことが示され、したがって含意 (i) ⇒ (ii) は成立しない。
• 特徴付けが与えられる：含意 (i) ⇒ (ii) が成り立つのは、条件(A)が満たされる場合に限る。条件(A)は、デザルグス系を保存する同一形と対応する部分空間を写す同一形の存在を含意する。
• PG(1, q³) 内のランク3線形集合に対しては条件(A)が成り立つため、含意 (i) ⇒ (ii) も成立する。これは、このような集合が高ランクの擬正則型線形集合とは異なる振る舞いを示す理由を説明する。
• 本稿は、t = 5 または t > 6 のとき、散在的擬正則型線形集合が、そのような同一形に関連する配置からの射影として埋め込めないことを確立しており、それらの自己同型性質における構造的差異を強調している。