[論文レビュー] On the Equivalence of SDP Feasibility and a Convex Hull Relaxation for System of Quadratic Equations

Bahman Kalantari|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2019

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、二次方程式系における半定値計画法（SDP）の可解性と凸包緩和（CHR）の間の同値性を確立し、幾何的反復的手法としての三角形アルゴリズムを用いてSDP問題を解くことを可能にする。主な貢献は、内点法の代替として、おそらくより効率的な新規な手法であり、MAX-CUTの緩和問題においては高速な解法時間を示す実験的結果が得られ、多項式系に対しても有望である。

ABSTRACT

We show {\it semidefinite programming} (SDP) feasibility problem is equivalent to solving a {\it convex hull relaxation} (CHR) for a finite system of quadratic equations. On the one hand, this offers a simple description of SDP. On the other hand, this equivalence makes it possible to describe a version of the {\it Triangle Algorithm} for SDP feasibility based on solving CHR. Specifically, the Triangle Algorithm either computes an approximation to the least-norm feasible solution of SDP, or using its {\it distance duality}, provides a separation when no solution within a prescribed norm exists. The worst-case complexity of each iteration is computing the largest eigenvalue of a symmetric matrix arising in that iteration. Alternate complexity bounds on the total number of iterations can be derived. The Triangle Algorithm thus provides an alternative to the existing interior-point algorithms for SDP feasibility and SDP optimization. In particular, based on a preliminary computational result, we can efficiently solve SDP relaxation of {\it binary quadratic} feasibility via the Triangle Algorithm. This finds application in solving SDP relaxation of MAX-CUT. We also show in the case of testing the feasibility of a system of convex quadratic inequalities, the problem is reducible to a corresponding CHR, where the worst-case complexity of each iteration via the Triangle Algorithm is solving a {\it trust region subproblem}. Gaining from these results, we discuss potential extension of CHR and the Triangle Algorithm to solving general system of polynomial equations.

研究の動機と目的

• 二次方程式系におけるSDP可解性と凸包緩和（CHR）の理論的同値性を確立すること。
• 三角形アルゴリズムがCHR問題を効率的に解けることを示し、SDPにおける内点法の代替手段を提供すること。
• 多項式時間の複雑さの上限を伴う、幾何的で双対性に基づくSDP可解性と最適化のアプローチを提供すること。
• CHRおよび三角形アルゴリズムを、同次多項式方程式系への拡張を検討すること。
• MAX-CUT問題や二値二次可解性問題のSDP緩和問題に対して、本手法の実験的妥当性を検証すること。

提案手法

• 本稿は、二次方程式系の可解性を、二次形式の像の凸包に右辺ベクトルが含まれるかどうかをチェックすることで、凸包緩和（CHR）として定式化する。
• 任意の凸包内の点が高々 m+1 個の点の凸結合として表現可能であるという事実を用いて、CHRを解くことはSDP可解性問題を解くことに等価であることを確立する。これにより、正定値行列 X が得られる。
• 三角形アルゴリズムを用いて凸包への属性をテストし、距離双対性を用いて近似解を求めるか、分離超平面を提供する。
• 三角形アルゴリズムの各反復では、対称行列の最大固有値をパワー法により計算するピボットを計算する。ピボットの再利用によりコストを低減する可能性がある。
• 凸二次不等式系の場合、問題は非同次CHRに帰着され、各反復で信頼領域部分問題を解く必要がある。
• 同次多項式系への拡張では、単位球面上での多線形形式の最大値を考慮し、テンソル固有値計算に高次パワー法を用いる可能性がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次方程式系の可解性は、右辺ベクトルが二次形式の像の凸包に含まれるかどうかをテストすることと同値か？
• RQ2 三角形アルゴリズムは、このような系の凸包緩和を効果的に解くために使用可能か？ これにより内点法の代替が可能か？
• RQ3 CHR経由でSDP可解性に適用した場合、三角形アルゴリズムの各反復の最悪計算量は何か？
• RQ4 CHRおよび三角形アルゴリズムの枠組みは、d ≥ 3 の同次多項式方程式系へ拡張可能か？
• RQ5 MAX-CUTなどの組合せ問題のSDP緩和問題において、三角形アルゴリズムの性能は既存手法と比較してどうか？

主な発見

• 二次方程式系の可解性は、任意の x ∈ ℝⁿ に対してすべての m-組 (q₁(x), ..., qₘ(x)) の集合の凸包に右辺ベクトルが含まれるかどうかをテストすることと同値である。
• 凸包緩和（CHR）はSDPに再定式化可能であり、SDPの可解解は、像集合内の高々 m+1 個の点の凸結合に対応する。
• 三角形アルゴリズムは、各反復で対称行列の最大固有値を計算する必要があるが、パワー法により実現可能であり、CHRを多項式時間で解く。
• 初期の計算結果では、1000×1000の行列まで、二値二次可解性およびMAX-CUT問題のSDP緩和問題が数秒で解かれる。
• 凸二次不等式系の場合は、問題が非同次CHRに帰着され、最悪の場合各反復で信頼領域部分問題を解く必要がある。
• 本フレームワークは、テンソル手法による高次ピボットの効率的計算が可能であれば、一般の同次多項式方程式系の解法への道筋を示唆する。