[論文レビュー] On the equivalence of state transformer semantics and predicate transformer semantics

Klaus Keimel|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2014

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、領域理論における意味論的記述的意味論において、状態変換子意味論と予測子変換子意味論の同値性のための関手的・圏論的基礎を、継続モナドおよびdcpo代数上のスコット連続的関数的を用いて確立する。確率的および非決定的効果を捉えるために、緩められたエントロピー的条件を導入し、連続的・一貫性のあるdcpoに対して、スコット連続的超線形関数的のモナドが射影によって生成されるモナドに等しいことを示し、完全な同値性を保証する。

ABSTRACT

G. Plotkin and the author have worked out the equivalence between state transformer semantics and predicate transformer semantics in a domain theoretical setting for programs combining nondeterminism and probability. Works of C. Morgan and co-authors, Keimel, Rosenbusch and Streicher, already go in the same direction using only discrete state spaces. It is the aim of this paper to exhibit a general framework in which one can hope that state transformer semantics and predicate transformer semantics are equivalent. We use a notion of entropicity borrowed from universal algebra and a relaxed setting adapted to the domain theoretical situation.

研究の動機と目的

• 領域的記述的意味論における状態変換子意味論と予測子変換子意味論の同値性の背後にある基礎的原理を明確化すること。
• 射影によって生成されるモナド（$\mathcal{F}_R X$）とスコット連続的代数準同型のモナド（$\mathcal{M}_R X$）が一致する条件を特定すること。
• 古典的なエントロピー的条件を、非決定的および確率的効果を併合的に捉えるために一般化した緩められたバージョンに拡張すること。
• 連続的・一貫性のあるdcpoに対して、超線形関数的のモナド（$\mathcal{S}\mathcal{V}X$）が射影によって生成されるモナド（$\mathcal{F}_{\overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}}X$）に等しいことを示し、完全な同値性を保証すること。

提案手法

• 観測のdcpo $R$ 上の継続モナドを用いて、状態変換子と予測子変換子の間の自然な全単射を確立する。
• 継続モナドに従属する二つのモナドを導入する：射影によって生成される $\mathcal{F}_R X$ とスコット連続的代数準同型の $\mathcal{M}_R X$。
• $R$-代数における緩められたエントロピー的条件を定義し、等式を不等式に置き換えることで、確率的および非決定的選択をモデル化する。
• 緩められた準同型を、$\varphi: \overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}^X \to \overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}$ としてのスコット連続的超線形関数的と定義し、$\varphi(rf) = r\varphi(f)$ および $\varphi(f+g) \geq \varphi(f) + \varphi(g)$ を満たす。
• ハーン＝バナッハ型定理を適用し、任意の超線形関数的は線形関数的の点ごとの下界であることを示す。
• $\mathcal{S}\mathcal{V}X$ と $\mathcal{V}X$ の非空なスコットコンパクトで飽和した凸集合の集合との間に順序同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測代数 $R$ に対して、モナド $\mathcal{F}_R X$ と $\mathcal{M}_R X$ が一致する条件は何か？
• RQ2 古典的なエントロピー的条件は、非決定的および確率的効果を併合的に捉えるために一般化可能か？
• RQ3 非決定性と確率性の両方が存在する状況において、超線形関数的のモナド的特徴づけは、パワー領域意味論に対応するか？
• RQ4 どのクラスのdcpoに対して、等式 $\mathcal{F}_{\overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}}X = \mathcal{S}\mathcal{V}X$ が成り立つか？
• RQ5 パワー領域の関数的表現は、状態変換子と予測子変換子意味論の同値性の証明を簡略化するためにどのように利用できるか？

主な発見

• スコット連続的超線形関数的のモナド $\mathcal{S}\mathcal{V}X$ は、$[\overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}^X \to \overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}]$ のd-コーンおよび $\wedge$-部分半順序的半群であり、継続モナドに従属する。
• 状態変換子 $t: X \to \mathcal{S}\mathcal{V}Y$ と超線形予測子変換子 $s: \overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}^Y \to \overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}^X$ の間に、自然な一対一対応が存在する。
• 連続的・一貫性のあるdcpoに対して、射影によって生成されるモナド $\mathcal{F}_{\overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}}X$ は、超線形関数的のモナド $\mathcal{S}\mathcal{V}X$ に等しい。
• 各超線形関数的 $\varphi$ を、それを支配する線形関数的の集合 $K(\varphi)$ に写像する写像 $\varphi \mapsto K(\varphi)$ は、$\mathcal{S}\mathcal{V}X$ と $\mathcal{V}X$ の非空なスコットコンパクトで飽和した凸集合の集合との間に順序同型を与える。
• 緩められたエントロピー的条件により、$R$ の代数的構造における等式を不等式に置き換えることで、確率的選択をモデル化でき、非決定的および確率的効果の併合的取り扱いが可能になる。
• パワー領域の関数的表現は、集合論的表現と比較して証明を簡略化し、技術的複雑性を低減する。これは、先行研究における集合論的表現から関数的表現への翻訳の事例によって示されている。