[論文レビュー] On the equivariant cohomology of subvarieties of a B-regular variety

James B. Carrell, Kiumars Kaveh|ArXiv.org|Sep 6, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、${\mathfrak{B}}$-regular多様体$X$の${\mathfrak{B}}$-不変部分多様体$Y$のうち、制限写像$H^*(X) \to H^*(Y)$が全射であるもの（主部分多様体と呼ばれる）を分類する。このような部分多様体は、${\mathfrak{T}}$-equivariantコホモロジー$H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$が$Y \times \mathbb{P}^1$内の曲線${\mathcal{Z}}_Y$の座標環に同型であるものとちょうど一致し、$Y$が主であるための必要十分条件として$H^*_{\mathfrak{T}}(Y) = {\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$が成り立つことが示されている。ここで${\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$は、$Y$上の${\mathfrak{B}}$-equivariantベクトル束のチャーン類によって生成される部分代数である。これは、主部分多様体の同型を、equivariant幾何学的構造に基づくコホモロジー的特徴づけを提供する。

ABSTRACT

By a $B$-regular variety, we mean a smooth projective variety over $C$ admitting an algebraic action of the upper triangular Borel subgroup $B \subset SL_2(C)$ such that the unipotent radical in $B$ has a unique fixed point. A result of M. Brion and the first author describes the equivariant cohomology algebra (over $C$) of a $B$-regular variety $X$ as the coordinate ring of a remarkable affine curve in $X imes P^1$. The main result of this paper uses this fact to classify the $B$-invariant subvarieties $Y$ of a $B$-regular variety $X$ for which the restriction map $i_Y:H^*(X) o H^*(Y)$ is surjective.

研究の動機と目的

• ${\mathfrak{B}}$-regular多様体$X$の${\mathfrak{B}}$-不変部分多様体$Y$のうち、制限写像$H^*(X) \to H^*(Y)$が全射であるもの（主部分多様体）を分類すること。
• このような部分多様体の${\mathfrak{T}}$-equivariantコホモロジー代数の構造を用いて特徴づけること。
• 制限写像のコホモロジー的全射性と、$H^*_{\mathfrak{T}}(Y) \cong \mathbb{C}[{\mathcal{Z}}_Y]$の同型（ここで${\mathcal{Z}}_Y$は$Y \times \mathbb{P}^1$内の標準的曲線）との正確な対応関係を確立すること。
• ${\mathfrak{B}}$-不変部分多様体$Y$が主であるための必要十分条件として、$H^*_{\mathfrak{T}}(Y) = {\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$が成り立つこと、ここで右辺は$Y$上の${\mathfrak{B}}$-equivariantベクトル束のチャーン類によって生成される部分代数であることを証明すること。

提案手法

• 論文は、$X \times \mathbb{P}^1$内の${\mathfrak{T}}$-安定なアフィン曲線${\mathcal{Z}}_X$に対して、既知の同型$H^*_{\mathfrak{T}}(X) \cong \mathbb{C}[{\mathcal{Z}}_X]$を用いて、${\mathfrak{B}}$-不変部分多様体$Y$に対する制限写像$i_Y^*: H^*_{\mathfrak{T}}(X) \to H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$を分析する。
• ${\mathcal{Z}}_Y$を${\mathcal{Z}}_X \cap (Y \times \mathbb{C})$として、その被約交差として定義し、${\mathbb{C}}[v]$-代数準同型$\rho_Y: {\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y) \to \mathbb{C}[{\mathcal{Z}}_Y]$を構成する。
• 主な技術的道具は、$\textup{End}(\tilde{E}_{|{\mathcal{Z}}_Y})$の正則切断$s(v)$の構成であり、これによりチャーン類$c_k^{{\mathfrak{T}}}(E)$が${\mathcal{Z}}_Y$上の正則関数として実現可能となる。
• 局所化技法と${\mathfrak{B}}$作用の構造を応用することで、$Y$の奇数次コホモロジーが消える場合に$\rho_Y$が同型であることを示す。
• $i_Y^*$の像がちょうど$H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$であるための必要十分条件が$H^*_{\mathfrak{T}}(Y) = {\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$であること、すなわちコホモロジー的条件とequivariantコホモロジーの代数的構造との関連を確立する。
• 図式$\rho_X$, $\rho_Y$, および制限写像を含む可換性を用いて、$\rho_Y \circ i_Y^* \circ \rho_X^{-1} = \text{id}$が$\mathbb{C}[{\mathcal{Z}}_Y]$上で成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathfrak{B}}$-regular多様体$X$の${\mathfrak{B}}$-不変部分多様体$Y$のうち、制限写像$H^*(X) \to H^*(Y)$が全射であるものはどれか？
• RQ2 このような部分多様体に対して、${\mathfrak{T}}$-equivariantコホモロジー$H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$はどのように幾何学的に記述できるか？
• RQ3 ${\mathcal{Z}}_Y$を$Y \times \mathbb{P}^1$内の曲線とするとき、$H^*_{\mathfrak{T}}(Y) \cong \mathbb{C}[{\mathcal{Z}}_Y]$が成り立つための正確な代数的条件は何か？
• RQ4 ${\mathfrak{B}}$-equivariantベクトル束のチャーン類によって生成される部分代数${\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$が、$H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$の全代数に等しくなるのはどのような条件の下か？
• RQ5 制限写像$i_Y^*: H^*_{\mathfrak{T}}(X) \to H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$が全射であるのはいつか？ そしてこれは、$Y$上の${\mathfrak{B}}$-equivariantベクトル束のチャーン類とどのように関係するか？

主な発見

• ${\mathfrak{B}}$-不変部分多様体$Y$が${\mathfrak{B}}$-regular多様体$X$において主（すなわち制限写像$H^*(X) \to H^*(Y)$が全射）であるための必要十分条件は、$H^*_{\mathfrak{T}}(Y) = {\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$であること。ここで${\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$は、$Y$上の${\mathfrak{B}}$-equivariantベクトル束のチャーン類によって生成される部分代数である。
• ${\mathfrak{T}}$-equivariantコホモロジー$H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$は、$Y \times \mathbb{C}$との被約交差${\mathcal{Z}}_Y = {\mathcal{Z}}_X \cap (Y \times \mathbb{C})$の座標環$\mathbb{C}[{\mathcal{Z}}_Y]$に同型である。ここで${\mathcal{Z}}_X \subset X \times \mathbb{P}^1$は標準的曲線である。
• $i_Y^*: H^*_{\mathfrak{T}}(X) \to H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$の像がちょうど$H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$であるための必要十分条件は、$H^*_{\mathfrak{T}}(Y) = {\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$であることから、主性のコホモロジー的基準が確立される。
• 任意の${\mathfrak{B}}$-equivariantベクトル束$E$のチャーン類$c_k^{{\mathfrak{T}}}(E)$は、$\rho_Y$を介して${\mathcal{Z}}_Y$上の正則関数に写され、これは$\bigwedge^k E_y$上の$\textup{End}(\tilde{E}_{|{\mathcal{Z}}_Y})$の切断$s(v)_y$のトレースとして与えられる。
• $\rho_Y: H^*_{\mathfrak{T}}(Y) \to \mathbb{C}[{\mathcal{Z}}_Y]$は${\mathbb{C}}[v]$-代数同型であり、$\rho_X$, $\rho_Y$, および制限写像を含む図式は可換である。
• $Y$が正規かつ$H^*(Y)$がラインバンドルのチャーン類によって生成されるならば、$H^*_{\mathfrak{T}}(Y) = {\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$が成り立つため、$Y$は主である。