[論文レビュー] On the estimation of integrated covariance matrices of high dimensional diffusion processes

Xinghua Zheng, Yingying Li|SSRN Electronic Journal|May 11, 2010

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高頻度データからの高次元統合共分散行列（ICV）を推定するための時変性補正付き実現共分散（TVARCV）行列を提案する。標準的な実現共分散（RCV）とは異なり、時間的に変動するボラティリティのためのスペクトル分布が歪められるが、TVARCVは共分散ボラティリティ経路の変動性を補正することで、このバイアスを除去する。これにより、その極限スペクトル分布は、マルチェンコ＝パストル方程式を通じてICVにのみ依存し、ICVのスペクトルに関する正確な推論が可能になる。

ABSTRACT

We consider the estimation of integrated covariance (ICV) matrices of high dimensional diffusion processes based on high frequency observations. We start by studying the most commonly used estimator, the realized covariance (RCV) matrix. We show that in the high dimensional case when the dimension $p$ and the observation frequency $n$ grow in the same rate, the limiting spectral distribution (LSD) of RCV depends on the covolatility process not only through the targeting ICV, but also on how the covolatility process varies in time. We establish a Marčenko--Pastur type theorem for weighted sample covariance matrices, based on which we obtain a Marčenko--Pastur type theorem for RCV for a class $\mathcal{C}$ of diffusion processes. The results explicitly demonstrate how the time variability of the covolatility process affects the LSD of RCV. We further propose an alternative estimator, the time-variation adjusted realized covariance (TVARCV) matrix. We show that for processes in class $\mathcal {C}$, the TVARCV possesses the desirable property that its LSD depends solely on that of the targeting ICV through the Marčenko--Pastur equation, and hence, in particular, the TVARCV can be used to recover the empirical spectral distribution of the ICV by using existing algorithms.

研究の動機と目的

• 時間的に変動するボラティリティ下で、高次元統合共分散（ICV）行列を推定する際の実現共分散（RCV）行列のバイアスを是正すること。
• RCVの極限スペクトル分布（LSD）がICVおよび共分散ボラティリティ過程の時間的ダイナミクスの両方に依存する理論的枠組みを確立すること。
• 時間的変動性の影響を除去することで、ICVのスペクトル的影響を分離する新しい推定量TVARCVを開発すること。
• 重み付き標本共分散行列に対するマルチェンコ＝パストル型定理を導出し、その結果を拡散過程のクラスに適用してRCVの極限スペクトル分布を拡張すること。
• TVARCVを用いてICVの経験的スペクトル分布（ESD）を正確に推定できることを示し、ポートフォリオ最適化などの後続応用を可能にすること。

提案手法

• 高次元漸近的枠組み（p/n → c ∈ (0, ∞)）において、重み付き標本共分散行列に対するマルチェンコ＝パストル型方程式を導出する。
• この枠組みを、時間依存の共分散ボラティリティを有する拡散過程のクラス 𝒞 における実現共分散行列（RCV）に適用する。
• RCVのスペクトル分布に及ぼす時間的変動ボラティリティ経路の影響を除去するために、TVARCV推定量を提案する。
• 確率積分計算および極限定理を用いて、TVARCVのLSDが標準的なマルチェンコ＝パストル方程式を通じてICVにのみ依存することを示す。
• Stieltjes変換技術を用いて、高周波・高次元漸近的条件下でのRCVおよびTVARCVのLSDを特徴付ける。
• 区分的定数および連続的ボラティリティ経路を用いたシミュレーションを通じて理論を検証し、RCVとTVARCVのESDをマルチェンコ＝パストル法則と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元設定下で、共分散ボラティリティ過程の時間的変動性が、実現共分散（RCV）行列の極限スペクトル分布（LSD）にどのように影響を与えるか？
• RQ2 そのLSDが共分散ボラティリティ経路のダイナミクスに依存せず、ICV行列にのみ依存するように、修正された推定量を構築可能か？（マルチェンコ＝パストル方程式を通じて）
• RQ3 RCV行列のLSDが時間的変動ボラティリティによって歪められる理論的条件は何か？ そして、その歪みはどのように是正可能か？
• RQ4 固定されたICVに対して、ボラティリティ経路が変化しても、提案されたTVARCV推定量の経験的スペクトル分布（ESD）は一意の極限に収束するか？
• RQ5 既存のスペクトル推定アルゴリズムは、真のICV行列のESDを回復するために、TVARCVにどの程度適用可能か？

主な発見

• 標準的なRCV行列のLSDは、ICVに加えて、共分散ボラティリティ過程の時間的変動性にも依存する。ICVが固定されていても、その影響は残る。
• 同一のICV行列に対し、異なるボラティリティ経路から推定されたRCV行列は、顕著に異なる経験的スペクトル分布（ESD）を示し、時間的変動性に起因する顕著なバイアスが存在することが示された。
• 提案されたTVARCV推定量は、時間的変動ボラティリティがLSDに与える影響を完全に除去し、その極限スペクトル分布がマルチェンコ＝パストル方程式を通じてICVにのみ依存することを保証する。
• シミュレーションにより、ICVが固定されていれば、ボラティリティ経路がどのように変化しても、TVARCVのESDがマルチェンコ＝パストル法則に非常に近づくことが確認された。一方、RCVのESDは経路によって大きく変動する。
• TVARCV推定量は、既存のアルゴリズムを用いてICVのESDを一貫して推定可能であり、ポートフォリオリスク管理や主成分分析などの応用に適している。
• 重み付き標本共分散行列に対する新しいマルチェンコ＝パストル型定理が確立され、その結果を拡散過程のクラスに適用して、RCVおよびTVARCVのLSDを導出するに至った。