[論文レビュー] On the Euler discretization error of Brownian motion about random times

A. B. Dieker, Guido Lagos|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、バリアに到達する時間や有限または無限の時間区間における極値事象（例：最小値）をサンプリングする際のブラウン運動におけるオイラー離散化誤差の弱収束を分析する。到達時間および位置における正規化された離散化誤差の極限分布を導出し、その分布の平均として定数 $-\zeta(1/2)/\sqrt{2\pi}$ が現れることを示し、確率論および確率的シミュレーション分野で見た目は異なる結果を統一する。

ABSTRACT

In this paper we derive weak limits for the discretization errors of sampling barrier-hitting and extreme events of Brownian motion by using the Euler discretization simulation method. Specifically, we consider the Euler discretization approximation of Brownian motion to sample barrier-hitting events, i.e. hitting for the first time a deterministic "barrier" function; and to sample extreme events, i.e. attaining a minimum on a given compact time interval or unbounded closed time interval. For each case we study the discretization error between the actual time the event occurs versus the time the event occurs for the discretized path, and also the discretization error on the position of the Brownian motion at these times. We show limits in distribution for the discretization errors normalized by their convergence rate, and give closed-form analytic expressions for the limiting random variables. Additionally, we use these limits to study the asymptotic behaviour of Gaussian random walks in the following situations: (1.) the overshoot of a Gaussian walk above a barrier that goes to infinity; (2.) the minimum of a Gaussian walk compared to the minimum of the Brownian motion obtained when interpolating the Gaussian walk with Brownian bridges, both up to the same time horizon that goes to infinity; and (3.) the global minimum of a Gaussian walk compared to the global minimum of the Brownian motion obtained when interpolating the Gaussian walk with Brownian bridges, when both have the same positive drift decreasing to zero. In deriving these limits in distribution we provide a unified framework to understand the relation between several papers where the constant $-ζ(1/2)/\sqrt{2 π}$ has appeared, where $ζ$ is the Riemann zeta function. In particular, we show that this constant is the mean of some of the limiting distributions we derive.

研究の動機と目的

• ブラウン運動のバリア到達および極値事象をシミュレートする際のオイラー離散化の理論的精度を理解すること。
• このような事象における到達時間および位置の正規化された離散化誤差の弱極限を特徴づけること。
• 確率論、統計学、およびファイナンシャル工学の多様な文献に現れる定数 $-\zeta(1/2)/\sqrt{2\pi}$ の統一的出現を解明すること。
• ブラウンブリッジ補間を用いてガウス型ランダムウォークとブラウン運動を関連させることで、結果をガウス型ランダムウォークへと拡張すること。
• 主な確率的事象における離散化誤差の極限分布の閉形式表現を提供すること。

提案手法

• 真のバリア到達時刻と、経路が初めてそのバリアを crosses する離散化時間点との間の離散化誤差を分析する。
• 到達時間誤差を $\sqrt{n}$ で正規化し、$n \to \infty$ の下での弱極限を導出する。ここで $n$ は時間ステップ数である。
• 真の最小値または到達時刻を中心に局所化技術を用い、事象時刻付近での離散化経路の挙動を研究する。
• 測度の変更とブラウンブリッジ補間を用い、離散的ガウス型ランダムウォークと連続的ブラウン運動を結びつける。
• ブラウン増分のスケーリング極限を用いて、事象時刻における位置の離散化誤差の極限分布を導出する。
• 到達時間と位置の逸脱の同時挙動を分析することで、正規化誤差の分布収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数で、連続的かつ微分可能で非減少なバリアに対するブラウン運動の到達時刻における離散化誤差の極限分布は何か？
• RQ2 オイラー離散化のもとで、ブラウン運動の到達時刻における位置の離散化誤差は漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ3 区間 $[0, \infty)$ におけるブラウン運動のグローバル最小値の時間および位置に関する離散化誤差の弱極限は何か？
• RQ4 ブラウンブリッジ補間を用いて補間された場合、ガウス型ランダムウォークのオーバーシュートおよび最小値は、どのようにブラウン運動のそれらに収束するか？
• RQ5 なぜ定数 $-\zeta(1/2)/\sqrt{2\pi}$ がブラウン運動およびガウス型ランダムウォークを含む多様な文脈に現れ、その確率的解釈は何か？

主な発見

• 正規化された到達時間における離散化誤差は、弱収束し、その極限確率変数の分布はブラウン運動の局所時刻およびスケーリング極限を用いて明示的に特徴づけられる。
• 到達時刻における位置の正規化誤差に対しても弱収束が成立し、その極限分布はバリア付近でのブラウン運動経路の局所的挙動に依存する。
• 区間 $[0, \infty)$ におけるグローバル最小値に関しては、時間および位置の正規化された離散化誤差が分布収束し、その極限はリーマンゼータ関数を含む閉形式で表現可能である。
• 定数 $-\zeta(1/2)/\sqrt{2\pi}$ は、定数バリアに対する到達時刻における離散化誤差の極限分布の平均として同定される。
• 増加するバリアの上を越えるガウス型ランダムウォークのオーバーシュートの漸近的挙動は、ブラウン運動の場合の離散化誤差と同じ極限分布に収束する。
• 時間区間が拡大するに従い、ガウス型ランダムウォークの最小値と、ブラウンブリッジ補間による補間ブラウン運動の最小値は、同じ分布に収束するが、離散化誤差がその差を捉えている。